Konvergenz einer alternierenden Folge: an=((-2)^n n^3 + 2^{n+1} n^2 + 2^{n-1}) /(2^{n-1} n^4 - 2^{n-2} n^3)

Question

Bei dieser Folge soll der Grenzwert bestimmt werden.

\( \frac{(-2)^{n} · n^{3}+2^{n+1} · n^{2}+2^{n-1}}{2^{n-1} · n^{4}-2^{n-2} · n^{3}} \)

So wie ich das sehe, ist das eine alternierende Folge.

Dann muss sie ja eine Nullfolge sein, damit sie konvergiert oder bin ich da jetzt komplett falsch?

Answer 1

an=((-2)^n n^3 + 2^{n+1} n^2 + 2^{n-1}) /(2^{n-1} n^4 - 2^{n-2} n^3) | oben und unten durch 2^n * n^4

=((-1)^n / n + 2/ n^2 + 1/(2n^4)) / (1/2 - 1/(4n))
Jetzt Limes

= (0+0+0)/(1/2 -0) = 0

Bitte noch nachrechnen und Korrekturen melden.

Answer 2

Die Folge ist nicht alternierend (Summe im Zähler), aber eine Nullfolge.

Kürze einfach durch n^3 und 2^n.

Comments

wenn ich jetzt durch n³  kürze, und dann mit den Grenzwertsätzen ganz streng arbeiten will, habe ich immer noch Ausdrücke wie "unendlich durch unendlich". oder "unendlich - unendlich"

Wie krieg ich das hin?

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ich häng an (-2)ⁿ  = (-1)ⁿ *2ⁿ dieses (-1)ⁿ macht mir zu schaffen

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Was kommt denn raus wenn du so kürzt wie in der Antwort vorgeschlagen? (-1)^n ist beschränkt, das ist alles was hier nötig ist.

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wenn ich die Kürzungen vornehme bleibt (-1)ⁿ/unendlich

eine beschränkte Folge durch eine bestimmt divergente geht gegen 0, ist das korrekt?