Stars + Balls? Richtige formel?

Question

Berechne die Anzahl der Tupel (x1,x2,x3) nichtnegativer ganzzahlen die folgendes erfüllen:

x1+x2+x3 = 20

Ich würde gerne nur wissen welche Formel ich verwenden muss.

Text erkannt:

\( \binom{r+k-1}{r}=\binom{r+k-1}{k-1} \)

Wäre das die richtige Formel?

Comments

Die Formel sind identisch wegen der Symmetrie des Binomialkoeffizienten:

(nüberk) = (n über (n-k))

(10über3) = (10über7)

l

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Er hat nicht gefragt, warum die Formel gilt. Er hat gefragt, ob er sie im Zusammenhang mit der Aufgabe verwenden kann.

Answer 1

Ja, das ist korrekt. Nimm mal ein paar Beispiele

x + y + z = 1 gibt 3 Möglichkeiten (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

x + y + z = 2 gibt 6 Möglichkeiten (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2)

(n + k - 1 über k)

(3 + 1 - 1 über 1) = (3 über 1) = 3

(3 + 2 - 1 über 2) = (4 über 2) = 6

Also für x + y + z = 20

(3 + 20 - 1 über 20) = (22 über 20) = (22 über 2) = 231

Comments

Könntest du mir erklären was genau ist hier unser n und k? Verstehe das noch nicht so ganz. Auf Youtube heißt es n ist die Menge an Elementen, die ich ziehen kann.

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Text erkannt:

"mit Wiederhoung" = Ob
\( \binom{n+k-1}{k} \)

Weil die Formel ist doch anders oder nicht ?

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Auf der ersten Formel die ich geschickt habe ist das k "oben" nur und hier ist es "unten"

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Vermutlich ist das k in deiner Gleichung ein anderes wie meines.

Das r in deiner Formel entspricht dem k in meiner Formel und das k in deiner Formel entspricht dem n in meiner Formel.

In Deutschland ist denke ich die Definition mit n und k überlich. Dabei ist das n die Anzahl der verschiedenen Kugeln in der Urne und das k ist die Anzahl aus Ziehungen aus dieser Urne.

Answer 2

Für x1=0 gibt es 21 mögliche Paare (x2,x3), und zwar von (0,20) bis (20,0).

Für x1=1 gibt es 20 mögliche Paare (x2,x3), und zwar von (0,19) bis (19,0).

Für x1=2 gibt es 19 mögliche Paare (x2,x3), und zwar von (0,18) bis (18,0).

...

Für x1=19 gibt es 2 mögliche Paare (x2,x3), und zwar (0,1) und (1,0).

Für x1=20 gibt es 1 mögliches Paar (0,0).

Es gibt also 21+20+19+...+2+1=231 mögliche Tripel.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Formel brauchst du nicht. Ich merke mir so was auch nie. Baue dir stattdessen ein Bild im Kopf, an das du dich immer erinnern kannst und das du auf ähnliche Probleme übertragen kannst.

Stell dir 20 Einsen vor (die "Stars") die durch 2 Trennsymbole (die "Balls") in 3 Gruppen angeordnet werden sollen. Du hast also insgesamt 22 Plätze zur Verfügung (20 für die Einsen und 2 für die Trennsymbole) und möchtest wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus diesen 22 Plätzen genau 2 für die Trennsymbole auszuwählen. Diese Anahl liefert der Binomialkoeffizient:$$\binom{22}{2}=\frac{22}{2}\cdot\frac{21}{1}=231$$