surjektive lineare Abbildung und Basisfolgen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4.1. Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( \varphi: V \rightarrow \mathbb{K} \) eine lineare Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) surjektiv ist genau dann wenn ein \( v \in V \) existiert mit \( \varphi(v) \neq 0 \).
(b) Hier sei nun \( \operatorname{dim}(V)=n \). Zeigen Sie, wenn \( \varphi(v) \neq 0 \) für ein \( v \in V \backslash\left\{0_{V}\right\} \), so gibt es Basisfolgen \( B \in V^{n} \) und \( B^{\prime} \in \mathbb{K}^{1} \) mit
\( { }_{B^{\prime}}[\varphi]_{B}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{1 \times n} . \)
(c) Geben Sie für \( \varphi: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K} \) mit
\( \varphi\left(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \)

Basisfolgen wie in (b) an.
\( (2+3+2 \text { Punkte }) \)

Problem/Ansatz:

Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie ich da rangehen soll

Comments

Was bedeutet denn "surjektiv " ?

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Eigenleistung?

Answer 1

Zur a):

Wenn \(f(v)=k\neq 0\), dann ist \(f(k^{-1}v)=1\).

Zur b):

Solch eine Abbildung muss nach dem Dimensionssatz Rang \(1\) und Defekt \(n-1\) haben. Wenn du dir eine Basis des Kerns nimmst, werden diese schonmal die Nullen in deiner Darstellungsmatrix geben. Jetzt füllst du das zu einer Basis von \(V\) auf mithilfe eines weiteren Vektors \(v\). Was könntest du denn als Basis von \(K\) wählen, damit \(v\) für eine \(1\) in der Darstellungsmatrix verantwortlich ist?

Zur c):

Deine Abbildung kannst du schreiben als \(\varphi(v)=\begin{pmatrix}1&\ldots&1\end{pmatrix}\cdot v\). Das wirkt doch verdächtig, oder? Da hast du einen Vektor, der irgendwie die Funktionswerte "generiert", und du hast ja einen \((n-1)\)-dimensionalen Raum, der orthogonal auf diesem Vektor steht..