Volumen der Pyramide ABCa

Question

Aufgabe:

Die Ebene schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten A (12/0/0), B (0/6/0) und C (0/0/6).

a) Fertigen Sie ein Schrägbild der Ebene E an.

b) Geben Sie eine Parametergleichung und eine Normalengleichung für die Ebene E an.

c) Weisen Sie nach, dass der Punkt P(2/3/2) in der Ebene E liegt.

d) Wie groß ist der Winkel zwischen den Kanten AB und AC?

e) Wie lautet die Gleichung der Spurgeraden von E in der x-y-Ebene?

f) Punkt C in der Ebene E wird verschoben nach Ca (0/0/a). Wie muss a gewählt werden, damit der Abstand I ACa I gleich 13 ist?

g) Wie muss a gewählt werden, damit das Volumen der Pyramide ABCaO (O: Koordinatenursprung) gleich 36 ist?

h) Weisen Sie nach, dass die Gerade g: x=(12/-1/-2)+t*(-2/1/1) für jede Wahl von Ca einen Schnittpunkt mit der Ebene ABCa hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes

Problem/Ansatz:

Konnte alles Aufgaben bisher lösen bis auf g und h. Kann mir da jemand einen Ansatz geben? Komme zum Beispiel bei g) immer auf komplexe Zahlen für a wo man dann, wenn man a einsetzt, nicht 36 raus hat

Answer 1

g) Wie muss a gewählt werden, damit das Volumen der Pyramide ABCaO (O: Koordinatenursprung) gleich 36 ist?

1/6·12·6·a = 36 → a = 3

h) Weisen Sie nach, dass die Gerade g: x = [12, -1, -2] + t·[-2, 1, 1] für jede Wahl von Ca einen Schnittpunkt mit der Ebene ABCa hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes.

E: x/12 + y/6 + z/a = 1 → a·x + 2·a·y + 12·z = 12·a

g in E einsetzen und nach t auflösen.

a·(12 - 2·t) + 2·a·(t - 1) + 12·(t - 2) = 12·a → t = (a + 12)/6

Schnittpunkt

S = [12, -1, -2] + (a + 12)/6·[-2, 1, 1] = [8 - a/3, a/6 + 1, a/6]

Comments

Dankeschön, aber wie kommst du auf die Werte von g) damit ich die Lösung besser nachvollziehen kann und bei einer der nächsten Aufgabe das einfacher hinbekomme ^^

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Überlege dir mal dazu, wie du das Volumen der Pyramide ABCO berechnen würdest.

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Naja mein Ansatz den ich die ganze Zeit hatte war 1/3 * Ag * h und die Grundfläche ist ja ein Dreieck? Kam da aber nie auf ein sinnvolles Ergebnis für a

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V = 1/3 * G * h

ist völlig richtig. Jetzt setzen wir die Formel fürs Dreieck ein.

V = 1/3 * 1/2 * a * b * h

V = 1/6 * a * b * h

a, b und h wären dann die Achsenabschnitte. Für die Pyramide ABCO also

V = 1/6 * 12 * 6 * 6

und für die Pyramide ABCaO

V = 1/6 * 12 * 6 * a

Das Volumen setzt man dann gleich 36 und löst nach a auf.

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Oh gott so einfach, danke.

Ich habe die ganze Zeit was mit den Vektoren AB und AC probiert und dann den Normalenvektor und dann kam nie ein sinnvolles a raus