Seitenflächen eines Polyeders

Question

Kann mir vielleicht jemand das Konzept der Seitenflächen bei einem Polyeder erklären? Was mich verwirrt ist, dass in der Definition von Seitenflächen immer nur von einer Ungleichung die rede ist. aber gleichzeitig habe ich gelesen, dass ein polyeder selbst auch wieder eine Seitenfläche ist und die leere menge auch eine Seitenfläche. Das würde ja aber auch heißen, dass man mehrere Ungleichungen nehmen darf. Deshalb würde es mich freuen, wenn mir das jemand, nochmal erklären könnte, am besten mit einem Beispiel im ℝ².

Comments

Offensichtlich gibt es verschiedene Definitionen der Begrifflichkeiten.

Ein Polyeder ist normalerweise ein dreidimensionaler Vielflächner, dessen Seitenflächen Polygone sind.

Ich denke allgemein spricht man von Polytopen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Polytop_(Geometrie)

Ein Punkt ist ein nulldimensionales Polytop.

Eine Strecke ist ein eindimensionales Polytop und wird durch Punkte begrenzt.

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop und wird durch Strecken begrenzt.

Ein Polyeder ist ein dreidimensionales Polytop und wird durch Polygone begrenzt.

Ein Polychor ist ein vierdimensionales Polytop und wird durch Polyeder begrenzt.

... usw.

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Ja, ich habe folgendes Beispiel gefunden:

P = {x ∈ ℝ²: x_1+x_2 ≤ 1, x_1,x_2 ≥ 0}

Angeblich hat dieser polyeder (oder wie man es nennen will) acht Seitenflächen. Wie sähen die denn dann aus?

Wie du oben geschrieben hast müssten das ja dann Strecken sein.

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Visuell betrachtet ist P ein Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), (0,1).

Das hätte 3 Strecken als Begrenzung. Wie man auf 8 kommt, ist mir nicht klar.

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Die Definition von Seitenfläche, die verwendet wird ist:

Sei P ⊆ ℝ^n ein Polyeder. Eine Ungleichung c^Tx ≤ a heißt gültig (mit c ∈ ℝ^n, a ∈ ℝ) für P, wenn P ⊆ {x ∈ ℝ^n: c^Tx ≤ a}.

Eine Menge F heißt Seitenfläche von P, wenn es für P eine gültige Ungleichung c^Tx ≤ a gibt, so dass F = P ∩ {x ∈ ℝ^n: c^Tx = a}.

P und die leere Menge sollen triviale Seitenflächen sein. Außerdem soll jede Seitenfläche eines polyeders wieder ein polyeder sein.

Wenn ich das richtig sehe, wären nach dieser Definition die Seitenflächen auch für das Beispiel oben Flächen und keine Strecken oder?

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Okay, ich weiß glaube ich weiß jetzt was die 8 "Seitenflächen" streng nach der Definition sind:

Einmal die komplette Fläche des von dir genannten Dreiecks, die drei Seiten des Dreiecks, die drei Eckpunkte des Dreiecks und einmal die leere Menge.

Ist halt leider nicht sonderlich intuitiv diese Defintion, aber danke für die Hilfe!