Beweise (Un)Gleichung der Dimensionen

Question

\(W_1, ..., W_r \subseteq V\) sind Untervektorräume des \(K\)-Vektorraumes \(V\).

Zeige \(dim(W_1 + ... +W_r)  \le dim W_1 + ... + dim W_r \).

Meine Gedanken:

Ich weiß, dass \(W_1 + ...+ W_r =: X \) ein Untervektorraum ist. Es gilt auch z.B. \(W_1 \subseteq X \). Für ein beliebiges Untervektorraum \( W \) gilt \( dim W \le dim V \). Damit habe ich

\(dim W_1 + ... + dim W_r \le dim (W_1 + ... + W_r ) \cdot r\)

Wo ist mein Fehler bzg. wie komme ich auf diese Ungleichung?

Comments

PS. Ich glaube es gilt gar nicht \(W_1 \subseteq X\).

Es geht doch, denn jeder Untervektorraum, enthält den Nullvektor, somit ist für \(x \in W_1\), \(x = x + 0 + ... + 0 \) also \(x \in W_1 + ... + W_r\). Meine Frage ist jedoch noch offen!

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wende

https://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel

an.

Answer 1

Entweder mit der Formel dim(U+V) ≤ dim(U) + dim(V)

(falls du die verwenden darfst)  und vollst. Induktion.

oder wenn du in jedem W_i eine Basis hast, dann ist die

Vereinigung all dieser Basen ein Erzeugendensystem

für die Summe der W_i und da jedes Erz.syst. auf eine

Basis reduziert werden kann, gibt es eine Basis für den

Summenraum, deren Elementezahl kleiner oder gleich

der Summe der einzelnen Dimensionen ist.  q.e.d.