Potenzreihe (1+x)^α Zeigen sie, dass (1+x)p'(x)=a*p(x)

Question

Aufgabe:

Es geht um eine reihe:  \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k} x^{k}=(1+x)^{\alpha} \)

gegeben beziehungsweise gezeigt habe ich bis jetzt folgende informationen:
\( \binom{\alpha}{k}:=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdot \ldots \cdot(\alpha-k+1)}{k!} \)

\( (k+1)\binom{\alpha}{k+1}+k\binom{\alpha}{k}=\alpha\binom{\alpha}{k} \)

wobei p(x) die gegebene Reihe ist.

Zeigen sie, dass (1+x)p'(x)=a*p(x)

Problem/Ansatz:

ich schaffe es nicht die Gleichheit zu zeigen. egal wie ich es drehe und wende es ist irgendwie ungleich :(

Meine erste Überlegung war, dass ich vielleicht die Ableitung falsch gebildet habe.

Wegen absoluter konvergenz darf ich innerhalb des Summenzeichens ableiten also tue ich das:

\( \binom{\alpha}{k} *kx^(k-1)\) . Für k ungleich 0 und für k =0 habe ich als ableitung 0 und mit einer Index Verschiebung bekomme ich dann \( \binom{\alpha}{k+1} *(k+1)x^(k)\)

ich habe jetzt ungefähr 2 stunden lang meine sachen geprüft neu umgeformt gerechnet und es klappt einfach nicht. Seswegen Frage ich hier einmal um hilfe. Eine weitere Theorie wäre vielleicht dass die Aufgabe einen Tippfehler enthält aber denke mal nicht.

Answer 1

Ich vermute, dass dein Problem daher kommt, dass du den Ausdruck \((1+x)p'(x)\) auf einmal versuchst zu berechnen.

Hier ist es aber günstig, \(p'(x)\) und \(xp'(x)\) getrennt zu berechnen und dann nach gleichen Potenzen zusammenzufassen:

$$p'(x) = {\color{blue}\sum_{k=0}^{\infty}k\binom ak x^{k-1} }= \sum_{\color{orange}{k=0}}^{\infty}(k+1)\binom a{k+1} x^{k}$$ $$xp'(x) =x {\color{blue}\sum_{k=0}^{\infty}k\binom ak x^{k-1} } = \sum_{k=0}^{\infty}k\binom ak x^{k}$$

Jetzt addierst du die rechts stehenden Reihen und erhältst dein gewünschtes Resultat.

Comments

Vielen Dank

Jetzt sehe ich auch warum :)

Answer 2

Wenn du weißt, dass die Reihe \(p(x)=(1+x)^{\alpha}\) ergibt, dann musst du das doch nur ableiten. Wie sieht denn deine Ableitung aus? Wenn du richtig abgeleitet hast, steht es nämlich eigentlich schon da. Oder soll es tatsächlich über die Definition der Reihe laufen, da ihr bspw. die Kettenregel nicht verwenden dürft? Das ist etwas unklar.