Berechnen Sie die komplexe Fourierreihe von

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die komplexe Fourierreihe von

$$f(t) = sin^2(t) + sin(t)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe es so verstanden, das man sich hier jeden einzelnen Term nehmen kann und damit den richtigen komplexen Fourierkoeffizienten berechnen kann.

Daher habe ich für:

$$T = 2*\pi\text{ und }w = 1$$

$$sin(t) = -i/2 * (e^{i*t} - e^{-i*t}) => c_1 = -i/2\text{ und }c_{-1} = i/2$$

 $$sin^2(t) \text{Hier habe ich einfach das Additionstheorem angewandt}$$

Also quasi

$$sin^2(t) = 1/2 * (1 - cos(2t)) = 1/2 * (1 - 1/2 * (e^{2ikt} + e^{-2ikt}))$$

Aber ich kam leider nicht weiter, da ich ja jetzt eine Konstante hier drin habe.

Comments

Eine Fourierreihe kann auch einen konstanten Term enthalten, formal exp(i*0*t)

In Deiner Formel für cos kommt kei k mehr vor.

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Also heißt es das ich für

c_0 = 1/2,

c_1 = -i/2 und c_-1 = i/2,

c_2 = -1/4 und c_-2 = 1/4 habe

Answer 1

Dein Vorgehen ist vernünftig und Dein Ergebnis

Also heißt es das ich für

c_0 = 1/2,

c_1 = -i/2 und c_-1 = i/2,

c_2 = -1/4 und c_-2 = 1/4 habe

fast richtig. Es ist \(c_{-2}=-\frac14\). Alle anderen \(c_i\) sind 0.

Comments

Perfekt, danke dir und in welchem Fall, würde ich die Analysegleichung der komplexen Fourierreihe machen? Das verstehe ich noch nicht ganz, da ich es hier ja auch ohne lösen konnte.

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Was ist denn die "Analysegleichung"?

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Damit meine ich

c_k = 1/T \( \int\limits_{0}^{T} \) f(t) * e^(ikw_0t) dt

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Das ist die übliche Integralformel für die FKoeffizienten. Die bietet sich an, wenn das Integral leicht zu berechnen ist. Und wenn einem nichts anderes einfällt (meistens also).

Bei nicht-periodischen Funktionen auf einem kompakten Intervall z.B.. Dann braucht man eine Formel für die \(c_i\).

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Alles klar danke :)