Beweise in Zahlentheorie

Question

Aufgabe:

1. Sei \( d<-1 \). Zeigen Sie, dass

\( \mathbb{Z}[\sqrt{d}]^{\times}=\{ \pm 1\} \)

2. Bestimmen Sie \( \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]^{\times} \).

3. Zeigen Sie, dass \( \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \) unendlich viele Einheiten hat.

Comments

2. Offenbar sind \(\pm1\) und \(\pm\sqrt{-1}\) Einheiten in \(\Z[\sqrt{-1}]\). Gibt es weitere?
3. Es gilt \(\big(3+2\sqrt2\big){\cdot}\big(3-2\sqrt2\big)=1\). Damit gilt auch \(\big(3+2\sqrt2\big)^n{\cdot}\big(3-2\sqrt2\big)^n=1\).

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Zur 1) Betrachte die Normabbildung a^2 -b^2*d. Ein Element ist eine Einheit, wenn diese 1 ist. Überlege dir, warum folgt daraus die Behauptung?