Beweise ggT (Zahlentheorie) Potenzen

Question

Aufgabe:

Seien \(a>1, m, n\) positive ganze Zahlen. Dann gilt \(\mathrm{ggT}(a^m-1,a^n-1)=a^{\mathrm{ggT}(m,n)}-1\)

Ansatz:
Das einzige, was mir auffällt, ist, dass wenn ich den ggT anwende, führe ich im Exponenten den euklidischen Algorithmus durch, aber das reicht leider nicht für einen formal richtigen Beweis.

Comments

Wenn \(k\,|\,\ell\), dann \((a^\ell-1)=(a^k-1)(a^{\ell-k}+a^{\ell-2k}+\cdots+a^k+1)\). Da kann man womoeglich was mit machen.

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aber was bringt mir das

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aber was bringt mir das?

Das war ja zu erwarten! :(

Man liest daraus unmittelbar ab, dass \(a^{\operatorname{ggT}(m,n)}-1\) ein gemeinsamer Teiler von \(a^m-1\) und \(a^n-1\) ist. Das ist schon mal die halbe Miete ...