Bestimmtes Integral mit Betrag

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{1}^{3} \) \( \frac{|x-2|}{x^{2}} \) dx
Problem/Ansatz:

Weiss nicht wie man hier vorgehen soll. Meine Idee wäre folgendes:
\( \int\limits_{1}^{2} \) \( \frac{2-x}{x^{2}} \) dx + \( \int\limits_{2}^{3} \) \( \frac{x-2}{x^{2}} \) dx

Kann mir jemand erklären, ob das der richtige Weg wäre, oder ob man anders vorgehen sollte?

Comments

Hier nur eine Kontroll-Lösung für dich

$$ \int \limits_{1}^{3} \frac{|x-2|}{x^{2}} d x=\frac{2}{3}-\log \left(\frac{4}{3}\right) $$

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https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Genau so macht man es. Bei Beträgen im Integranden muss man das Integral immer entsprechend aufteilen. Bekommst du die Integration der beiden Teilintegrale hin?

Comments

Danke sehr, ich bekomme das schon hin :)

Answer 2

Ja, es gibt 2 Fälle:

1. x>=2

f(x) = (x-2)/x^2

2. x<2

f(x) = (-x+2)/x^2

Du kannst Teilbrüche bilden

1. f(x) = 1/x -2/x^2 = 1/x -2x^(-2)

F(x) = lnx +2/x *C

2. analog

Answer 3

Ja, dein Vorgehen ist der richtige Weg.