Wann hat sich die Population unter diesen Bedingungen verdoppelt?

Question

Beschränktes Wachstum:
Hi, bei mir haptert es an der Aufgabe:

Über eine Population sei bekannt, dass sie sich unter idealen Bedingungen mit exponentiellem Wachstum entwickelt. Die Wachstumskonstante sei λ=0,3
pro Tag .

Unter realen Bedingungen sei das Wachstum beschränkt und die maximale Population 74. Die Größe der Anfangspopulation sei 23.

Wann hat sich die Population unter diesen Bedingungen verdoppelt?

Geben Sie die Antwort als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen an.

Die Lösung war 4,3092 Tage aber ich weiß nicht wie man darauf kommt.

Ich erbitte um dringende Hilfe

Comments

https://studyflix.de/mathematik/beschranktes-wachstum-2031

Answer 1

Stelle zunächst die Funktionsgleichung für das Wachstum auf. Allgemein lautet sie \(f(t)=S-(S-B_0)\mathrm{e}^{-\lambda t}\). Dabei ist \(S\) die Schranke, \(B_0\) der Anfangswert und \(\lambda\) die Wachstumskonstante. Danach löst du die Gleichung \(f(t)=2B_0\) (doppelte Anfangspopulation). Kommst du damit schon weiter?

Sicher, dass die Lösung stimmt? Ich erhalte nämlich \(t\approx 2\).

Comments

Ich glaube ich brauche das noch ein bisschen ausführlicher, aber ich glaube den Ansatz verstehe ich schonmal

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Kannst du sagen, was unklar ist? Ich habe ja erstmal nur die Formel für das beschränkte Wachstum hingeschrieben. Die solltest du ja auch in deinen Unterlagen finden. Da setzt du dann erstmal alle Zahlen ein, die gegeben sind. Das kann man dann ggf. noch vereinfachen. Wenn du das soweit hast, können wir uns anschauen, wie man die Gleichung löst. :)

Answer 2

Die Kontroll-Lösung von 4,3092 Tage vom Dozenten ist richtig. Man erhält sie, wenn man ein logistisches Wachstum zugrunde legt.

Ein beschränktes Wachstum unterscheidet sich von einem exponentiellen Wachstum. Das logistische Wachstum weist zunächst die Merkmale eines exponentiellen, also progressiven Wachstums auf, zeigt jedoch auch degressive Wachstumseigenschaften, wenn es sich der oberen Schranke nähert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion