Wie wird das Integral von x*arctan(x) berechnet?

Question

Aufgabe:

Gesucht ist das unbestimmte Integral von x*arctan(x)

Im Tipp wird emofohlen, dass ich partielle Integration und Substitution nutzen soll.

Problem/Ansatz:

Ich habe das x abgeleitet, damit es beim nächsten Integral nicht mehr auftaucht. Aber wie lautet das Integral von arctan(x)? Das muss ich vermutlich mit Substitution machen, aber ich weiß nicht wie.

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Wenn Du x integriert, brauchst Du nur die Ableitung von arctan wissen

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Mir als Physiker tun die Lösungen des Online-Rechners und der KI weh. Daher möchte ich dir, auch wenn es schon 3 Antowrten gibt, noch einen anderen Vorschlag machen. Nutze dafür die Möglichkeiten der partiellen Integration voll aus:

$$I=\int\underbrace{x}_{=u'}\cdot\underbrace{\arctan(x)}_{=v}\,dx=\underbrace{\left(\frac{x^2}{2}+c\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\arctan(x)}_{=v}-\int\underbrace{\left(\frac{x^2}{2}+c\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+x^2}}_{=v'}\,dx$$Wähle als Integrationskonstante \(c=\frac12\), dann wird das vebliebene Integral zu \(\int\frac12\,dx\).

Das Ergebnis kannst du dann sofort hinschreiben:$$I=\frac{x^2+1}{2}\cdot\arctan(x)-\frac x2+\text{const}$$

Du hast \(x\) abgeleitet und kamst dann in Bedrängnis, weil du das Integral von \(\arctan(x)\) gebraucht hättest. Wenn du in so eine "Sackgasse" läufst, probiere immer noch aus, den anderen Faktor des Integranden abzuleiten, um einen einfacheren Integranden im zweiten Integral zu erhalten.

Comments

Mit Integrationskonstante habe ich die partielle Integration noch nie irgendwo gesehen. Das ist aber sehr einleuchtend und gut nachvollziehbar.

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Schöner Trick!

Answer 2

Aber wie lautet das Integral von arctan(x)? Das muss ich vermutlich mit Substitution machen, aber ich weiß nicht wie.

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen#Trigonometrische_Funktionen

Answer 3

Mein erster Ansatz wäre es, \(x\) aufzuleiten und \(\mathrm{arctan}(x)\) abzuleiten, da die Ableitung von \(\mathrm{arctan}(x)\) deutlich einfacher aussieht als die Stammfunktionen.

\(\int x\cdot\mathrm{arctan}(x)\mathrm{d}x = \frac{x^2\mathrm{arctan}(x)}{2}-\int \frac{x^2}{2(1+x^2)}\mathrm{d}x\).

Das rechte Integral kannst du mit verschiedensten Methoden evaluieren.

Comments

Danke schön...

Bis dahin konnte ich die Rechnung nachvollziehen. Jetzt versuche ich mal, das verbliebene Integral mit Substitution zu lösen.

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Musst du gar nicht.

Es gilt: \(\frac{x^2}{2(1+x^2)}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\) indem du oben eine geheime +1-1 einfügst. Stammfunktionen dieser Summanden kennst du ja schon.