Austauschprozess beschreiben- Matrizen

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie für das Zustandsdiagramm I eine Übergangsmatrix.

b) Welche Besonderheiten weist dieser Prozess auf?

c) Bestimmen Sie eine stabile Verteilung des Prozesses.

d) Durch Eingriffe von außen verändert sich der Prozess (siehe Zustandsdiagramm II). Begründen Sie ohne Rechnung, wie und in welche Richtung sich die Anteile des Grenzzustandes verändern.

e) Berechnen Sie die Grenzverteilung.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich die Übergangsmatrix P= \( \begin{pmatrix} 0,5 & 1&1 \\ 0,25 & 0&0 \\ 0,25 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Aber beim Rest komme ich nicht weiter..

Answer 1

b) Welche Besonderheiten weist dieser Prozess auf?

Welche Eigenschaften von Prozessen kennst du denn?

c) Bestimmen Sie eine stabile Verteilung des Prozesses.

Löse das Gleichungssystem

       \(\begin{aligned}P\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\\a+b+c&=1\end{aligned}\)

Dann ist \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) eine stabile Verteilung.

Comments

Löse das Gleichungssystem        \(\begin{aligned}P\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\\a+b+c&=1\end{aligned}\)Dann ist \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) eine stabile Verteilung.

Kann man machen, muss man nicht.

Die Verteilung ist stabil, wenn

- die "Wanderung" von A nach B sich mit der Wanderung von B nach A ausgleicht.
Das ist der Fall, wenn A viermal soviel hat wie B.

- die "Wanderung" von A nach C sich mit der Wanderung von C nach A ausgleicht.
Das ist der Fall, wenn A viermal soviel hat wie C.

Also muss A 4/6 des Gesamtbestands enthalten, während B und C je 1/6 bekommen.