Maximum likelihood funktion

Question

Aufgabe:

Es seien die folgenden Daten gegeben:
              0.5  -0.32  -0.55  -0.76  -0.07  0.44  -0.48
Zeichne die Likelihoodfunktion für θ für jedes der folgenden Modelle.

(a) Die Daten sind eine iid Stichprobe basierend auf Unif(θ − 1, θ + 1).

(b) Die Daten sind eine iid Stichprobe basierend auf Unif(−θ,θ).
(c) Die Daten sind eine iid Stichprobe basierend auf N(0, θ).

Wie geht das, bitte?

Ich hab gar keinen Plan wie ich berechnen muss

Answer 1

Hier ein paar Hinweise zu (a). Weitere Hilfe gebe ich nur, wenn du versuchst, (b) oder (c) selbst zu lösen.

Dichte von \(U(\theta -1 , \theta + 1)\): \(f_\theta(x) = \left\{\begin{array}{cc}\frac 12 & x\in[\theta -1 , \theta + 1] \\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.\)

Benenne die 7 Werte mit \(x_1,\ldots ,x_7\). Dann bilde die Likelihood-Funktion:
\(L(\theta) = \prod_{i=1}^7 f_{\theta}(x_i)\)

Wir haben

\(m= \min x_i = -0.76\) und \(M = \max x_i = 0.5\)

Damit ist \(L(\theta) \neq 0 \Leftrightarrow m\geq \theta -1\) und \(M\leq \theta + 1\)

Diese Bedingung ist äquivalent mit

\(\theta \in [-0.5, 0.24]\) (selber nachrechnen)

Damit ergibt sich

\(L(\theta) = \left\{\begin{array}{cc}\frac 1{2^7} & x\in[-0.5, 0.24] \\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.\)