Wahrscheinlichkeit berechnen. Binomialverteilung.

Question

Aufgabe:

… ein Würfel wird fünf mal geworfen berechne mit welcher Wahrscheinlichkeit 3 mal 5 oder sechs Augen fallen, mindestens dreimal fünf oder sechs Augen fallen und höchstens 2 mal 5 oder sechs Augen fallen. Ohne Taschenrechner

Problem/Ansatz:

… muss ich die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahlen fünf und sechs addieren, habe bei dem ersten etwa 33 Prozent, aber ich weiß nicht, wie ich die beiden anderen Wahrscheinlichkeiten rechnen soll

Answer 1

Ein Würfel wird fünfmal geworfen. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit 3 mal 5 oder sechs Augen fallen,

n = 5

p = 2/6 = 1/3

P(X = 3) = (5 über 3) * (1/3)^3 * (2/3)^2 = 10 * 4/243 = 40/243

mindestens dreimal fünf oder sechs Augen fallen und höchstens 2 mal 5 oder sechs Augen fallen.

P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 40/243 + 10/243 + 1/243 = 51/243 = 17/81

P(X ≤ 2) = 1 - P(X ≥ 3) = 1 - 17/81 = 64/81

Comments

Wie komme ich bei P(X=5) auf 1/243, ich habe 0 rausbekommen?

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Setze n, p und k nur in die bekannte Formel der Binomialverteilung ein.

P(X = 5) = (5 über 5) * (1/3)^5 * (2/3)^0 = (1/3)^5 = 1/243

Beachte dabei

(5 über 5) = 1
(2/3)^0 = 1

Notfalls einfach mal den Taschenrechner benutzen, wenn man das im Kopf nicht weiß.

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Ich habe das mit der Fakultät versucht bei fünf über fünf. Aber wie kommt man dabei auf eins?

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(5 über 5) = 5! / (5! * (5 - 5)!)
(5 über 5) = 5! / (5! * 0!)

Nun sollte man wissen dass 0! = 1 ist.

(5 über 5) = 5! / 5!
(5 über 5) = 1

Allgemein gilt immer

(n über 0) = (n über n) = 1
(n über 1) = (n über n - 1) = n

Das solltest du dir merken, denn das kommt immer wieder dran.

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Das wusste ich nicht, vielen Dank

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mit welcher Wahrscheinlichkeit 3 mal 5 oder sechs Augen fallen,

Kann das nicht auch heißen: 3 Fünfer oder 3 Sechser?

P(555xx) + P(666xx) , mit Reihenfolge  

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Dann musste man schreiben

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit 3 mal 5 Augen oder 3 mal 6 Augen fallen

Eigentlich ist die Frage auch im original schon verkehrt gestellt weil es vermutlich um genau 3 mal geht und dann sollte das genau dabeistehen, denn ansonsten bedeutet es mindestens.

Answer 2

Definiere die Zufallsvariable \(X\hat{=}\textrm{Anzahl, dass 5 oder 6 Augen fallen}\). Dann ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{3}\).

Berechne nun mit Hilfe der Bernoulli-Formel

\(P(X=3)=\frac{40}{243}\)

\(P(X\geq 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\)

\(P(X\leq 2)\)

Tipp: das zweite und dritte Ereignis sind Gegenereignisse. ;)

Dein Ergebnis stimmt nicht. Zeige gerne deine Rechnung.

Comments

20*(2/6)^3*(4/6)^2

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Warum ist p nicht 1/6?

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Wenn du hier mit gekürzten Brüchen rechnest, wird es leichter. Es ist ja ohne Taschenrechner. Und \(\binom{5}{3}=10\).

Warum ist p nicht 1/6?

5 oder 6. Das sind 2 von 6 Möglichkeiten.

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Achso danke, könnten sie die zweite Aufgabe ausführlich aufschreiben, damit ich das besser nachvollziehen kann

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Oder die Ergebnisse damit ich das mit meinen Lösungen kontrollieren kann?

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Ausführlicher geht es doch gar nicht. Die Bernoulli-Formel kennst du doch. Aber hast ja die Lösung schon wieder bekommen...

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Ja, trotzdem danke

Answer 3

ein Würfel wird fünf mal geworfen

Fünfstufiges Baumdiagramm.

5 oder sechs Augen fallen

Auf jeder Ebene brauchst du nur

• es fallen 5 oder sechs Augen und
  
• es fallen 1, zwei, 3 oder vier Augen

zu unterscheiden.

Bei fünf Ebenen und zwei Möglichkeiten pro Ebene ergibt das 2⁵ = 32 Pfade. Das ist mit einem Baumdiagramm gerade noch so machbar. Ich hab da mal was vorbereitet (siehe Anhang).