Extremwertaufgabe Inkugel eingeschrieben in einen Kegel

Question

Aufgabe:

Extremwertaufgabe

Ein gerader Kegel hat eine Inkugel mit 4cm Radius. Wie gross muss man den Grundflächenradius des Kegels wählen, damit dessen Volumen minimal wird.

Problem/Ansatz:

Ich sehe den Lösungsweg nicht. Hauptbedingung/Nebenbedigung/Lösungsweg?

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https://www.selbstlernmaterial.de/m/a/ep/ep_kegel_in_kugel_volumen_max.pdf

Answer 1

Hauptbedingung : Kegelvolumen

Nebenbedingung: Inkugel r=4cm

Querschnittszeichnung hilft bei der Nebenbedingung.

Gruß lul

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Hallo lul

Danke für Deine Antwort. Das Resultat müsste 5.66 cm ergeben. Habe leider keinen Lösungsweg dazu.

Deine Angaben helfen mir leider nicht weiter.

Könntest Du die Aufgabe ganz genau Schritt für Schritt dokumentieren?

DANKE

Gärtner

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Habe leider keinen Lösungsweg dazu.

Der steht doch in der Antwort von lul, in drei Schritten.

Dort steht auch

Querschnittszeichnung hilft bei der Nebenbedingung.

Also mach eine Querschnittszeichnung ...

Answer 2

Ein gerader Kegel hat eine Inkugel mit 4cm Radius. Wie groß muss man den Grundflächenradius des Kegels wählen, damit dessen Volumen minimal wird.

Verwende:

Volumen Kegel:

\(V_1(R,h)=\frac{1}{3}R^2πh \) soll minimal werden

NB:

Volumen Kugel:

\(V_2=\frac{4}{3}r^3π \)

Höhensatz des Euklid:

\(i^2=l \cdot m\)

\(r^2=m^2+i^2\)

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Hallo Moliets

Besten Dank für die Antwort. Leider konnte ich die Aufgabe so nicht lösen. Wir haben auch den Höhensatz des Euklid nicht durchgenommen.

Die Lösung wäre 5.66 cm. Leider habe ich nur das Resultat aber keinen Lösungsweg dazu.

Hast Du noch eine andere Variante, dies zu rechnen?

DANKE

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Du brauchst dich bei Moliets nicht zu bedanken. Er war ja nicht mal in der Lage, "4 cm Radius" richtig zu lesen.

Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras und sollte auch bei dir spätestens in Klasse 9 drangekommen sein.

Wenn du das aber wirklich nicht kennst:

Die Dreiecke MCS und und BES (die Bezeichnungen beziehen sich auf Moliets' Skizze mit dem falschen Radius) sind ähnlich.

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Hast Du noch eine andere Variante, dies zu rechnen?

Da gibts jetzt grundsätzlich zwei alternative Wege:

Entweder, Du machst Dich schlau über den von Moliets erwähnten Höhensatz, oder

Du wartest, bis irgendwer es irgendwie anders löst, und hoffentlich richtig, mit der Gefahr, dass auch dort etwas kommt was Du noch nicht kennst - mit beliebig vielen Wiederholungen. Diese zweite Alternative wäre nicht effizient.

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Hallo Abakus,

warum schon wieder so un....? Eine Planzeichnung muss doch nicht die richtigen Maße enthalten? Und jemand an Dank hindern???

lul

@Gärtner Höhensatz  bekannt als h^2=p*q ich hoffe du sahst das Dreieck MCS ist rechtwinklig?

lul

Answer 3

Zwei Dreiecke die in 2 Winkeln übereinstimmen sind ähnlich

r/s = 4/(h - 4) --> s = r·(h - 4)/4

Einsetzen in r^2 + h^2 = s^2 ergibt die Nebenbedingung

r^2 + h^2 = (r·(h - 4)/4)^2 --> h = 8·r^2/(r^2 - 16)

Einsetzen in die Hauptbedingung V = 1/3·pi·r^2·h ergibt

V = 1/3·pi·r^2·8·r^2/(r^2 - 16) = 8/3·pi·r^4/(r^2 - 16)

Jetzt noch die Ableitung gleich Null setzen und r ausrechnen

V' = 16/3·pi·r^3·(r^2 - 32)/(r^2 - 16)^2 = 0 --> r = 4·√2 ≈ 5.657

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hallo Mathecoach

Entschuldige, ich scheine etwas schwer von Begriff zu sein.

Warum nimmst Du beim Einsetzen der Hauptbedingung die Formel Volumen für den Zylinder und nicht den für den Kegel?

Und: Wie funktioniert Deine Ableitung.

Leider hatten wir das nicht wirklich bei unserem Lehrer und ich schreibe am Freitag eine Prüfung.

DANKE vielmals

Gruss Gärtner

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Warum nimmst Du beim Einsetzen der Hauptbedingung die Formel Volumen für den Zylinder und nicht den für den Kegel?

Das war mein Fehler. Da sich die Formeln hier aber nur durch den konstanten Faktor 1/3 unterscheiden gibt es bei der Extremstelle keine Abweichung. Ich werde den Faktor 1/3 oben gleich noch einfügen.

Und: Wie funktioniert Deine Ableitung.

Du kannst für die Ableitung die Quotientenregel benutzen.

Du kannst https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe oder Selbstkontrolle benutzen.

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Hallo Mathecoach

Jetzt hat es geklappt. Super. DANKE.

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Jetzt hat es geklappt. Super. DANKE.

Prima. Freut mich das es jetzt geklappt hat und du es verstanden hast.