Polynomdivision bzw. Nullstelle: f(x) = 1/6*x^4+x^2-4/3*x+1/2

Question

 

 

ich versuche zurzeit die Nullstellen von f(x)= 1/6 x⁴ +x²  - 4/3 x + 1/2 mit Polynomdivision zu rechnen aber ich verstehe es gar nicht ich habe auch recherchiert und mich verwirrt alles nur noch. 

 

ich würde mich sehr freuen. 

 

Liebe Grüße 

Answer 1

Für die Polynomdivision bräuchtest du eine Nullstelle die errechenbar ist.

Die Funktion f(x) = 1/6·x^4 + x^2 - 4/3·x + 1/2 hat allerdings keine Nullstellen. Das kann man über einen Graphen erkennen. Bitte prüfe daher den Funktionsterm.

 

Answer 2

Bei einer solchen Funktion muss man zunächst eine und dann noch eine Nullstelle "erraten", und dann jeweils dementsprechende Polynomdivisionen durchführen.

1/6 x⁴ +x²  - 4/3 x + 1/2 = 0

Zunächst Multiplikation mit 5, um die lästigen Brüche los zu werden:

<=> x⁴ + 6 x ²  - 8 x + 3 = 0

Nun gilt: Wenn diese Polynom eine ganzzahlige Nullstelle hat, dann muss diese ein (eventuell auch negativer ) Teiler des absoluten Gliedes sein,  im vorliegenden Beispiel also ein Teiler der 3.
In Frage kommen daher:

x = - 3 , x = - 1 , x = 1 , x = 3

Probiert man durch, so stellt man fest: Für keinen dieser Werte von x ergibt sich

x⁴ + 6 x ²  - 8 x + 3 = 0

 

Bevor man nun sich nun daran macht, nicht-ganzzahlige Nullstellen zu finden, sollte man nun erst einmal schauen, ob es überhaupt Nullstellen geben kann. Tatsächlich kann man durch Extremstellenbestimmung feststellen, dass f ( x ) an der Stelle x = 0,596 ein lokales Minimum hat, dessen Funktionswert

f ( 0,596 ) = 0,082

jedoch größer als Null ist. Wenn aber der kleinste Wert, den f  ( x ) annimmt, größer als Null ist, dann kann f ( x ) keine Nullstelle haben.

Answer 3

Hallo Lea,

 

da hast Du ein sehr unglückliches Beispiel gewählt, denn diese Funktion hat gar keine Nullstellen!

Normalerweise müsstest Du eine Nullstelle "raten" und dann die Polynomdivision durchführen.

Hätten wir beispielsweise die Funktion f(x) = (x + 1) * (x - 1) * (x + 2) = (x² - 1) * (x + 2) = x³ + 2x² - x - 2,

so würdest Du jetzt in Unkenntnis des roten Textes vielleicht raten, dass x₁ = 1 eine Nullstelle ist.

Dann würde die Polynomdivision so gehen:

(x³ + 2x² - x - 2) : (x - 1) = x² + 3x + 2

x³ - x²

----------

     3x² - x

     3x² - 3x

   --------------

          2x - 2

          2x - 2

         -----------

              0

 

Und jetzt solltest Du mit Hilfe der pq-Formel für den Term

x² + 3x + 2

die beiden anderen Nullstellen -1 und -2 berechnen können:

x_2,3 = -3/2 ± √(9/4 - 8/4) = -3/2 ± 1/2 | passt :-D

 

Liebe Grüße

Andreas

Answer 4

Du hast ein Minus bei der Funktion vergessen. 

Deine Funktion hat zwei Nullstellen. Die eine liegt bei Nullstelle 1 (-3/0) ; Nullstelle 2 (1/0)

Durch eine der beiden Nullstellen, die du durch zum Beispiel das Horner-Schema oder durch deinen Taschenrechner erlangen kannst, kannst du die weiteren Nullstelle berechnen. Dies funktioniert einfach so:

(-1/6 x⁴ +x²  - 4/3 x + 1/2) : (x-1) =-1/3x^3-1/6x^2+5/6x-1/2

Du nimmst einen x-Wert von einer bekannten Nullstelle und teilst deine Funktion durch diesen Wert. Wichtig ist du das Vorzeichen vor diesem Wert änderst, so wie ich oben hingeschrieben habe. 

Mit diesem Ergebnis kannst du aber noch nicht viel anfangen, weil du immer noch zu hohe Potenzen hast. Jetzt nimmst du einfach dein Ergebnis

(-1/3x^3-1/6x^2+5/6x-1/2) : (x-1)=

und machst genau das gleiche nochmal. Jetzt bekommst du ein Ergebnis raus, welches du in die pq-Formel einsetzten kannst.

Ich hoffe das war ein bisschen hilfreich.