Matrix und Polynome Lineare Algebra

Question

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -x_{0}-x_{1}-x_{2} & \cdots & -x_{n-1}\end{array}\right) \in K^{n \times n} \\ \text { Zeige: } X_{A}(t)=(-1)^{n}\left(t^{n}+a_{n-1}\left(t^{n-1}+\ldots+a_{1} t+a_{0}\right)\right.\end{array} \)

Hi, diese Matrix aus dem Format (n x n) ist gegeben und ich soll zeigen, das das Polynom da, das charakteristische Polynom ist.

Meine Idee war es, zuerst einmal die Eigenschaften eines charakteristischen Polynoms zu nutzten. Hierbei haben wir eine n x n Matrix und damit wissen wir das Polynom hat den Grad n.

Also hat es die allgemeine Form

XA(t) = c_n * t^n + c_(n-1) * t^(n-1) + … + c_1 * t + c_0, wobei c_n = (-1)^n, c_(n-1) = -(-1)^n * Spur(A) und c_0 = det(A) ist. (Aus der VL)

Ich berechnete diese und kam auf:

c_n = (-1)^n, c_(n-1) = (-1)^n * a_(n-1) und c_0 = (-1)^n * a_0. Mit Einsetzten fogt ja:

XA(t) = (-1)^n * t^n + (-1)^n a_(n-1) * t^(n-1) + … + c_1 * t + (-1)^n a_0. Das ist ja alles bis auf den Term c_1 * t, das was ich zeigen soll. Jedoch ist mein Problem bei diesem Term, hierbei muss ja c_1 = (-1)^n * a_1 sein und allgmein für 0 < i < n-1, c_i = (-1)^n * a_i. Ich weiss aber nicht wie ich es zeigen soll. Kann mir einer helfen?

Comments

Wieso steht in der Matrix noch x0, x1, x2, ... und nachher im Polynom a0, a1, a2, ...

Kleiner Tipp. Mach das über vollständige Induktion

Also zeig das es für n = 2 gilt, und wenn es dann für ein n gilt, dass es dann auch für n+1 gilt.

XA(t) = DET([0 - t, 1; -a0, -a1 - t]) = (-1)^2·(t^2 + a1·t + a0)

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Wie macht man aber den Induktionsschritt, also was genau muss ich da zeigen?

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Ich hab den Induktionsschritt jetzt mal versucht, aber da ist irgendwas am Ende falsch gelaufen. Da sollte bei a_1 noch ein t dransein

Text erkannt:

2) Induktionsschrilt. Angenommen für ein \( h \in \mathbb{N} \) ist \( X_{A_{n}} \in \mathbb{K}[t] \) mit \( X_{A_{n}}(t)=(-1)^{n}\left(t^{n}+a_{n-1} t^{n-1}+\ldots+a_{1} t+a_{0}\right) \) das charakterishische Polynom zu \( A_{n} \in \mathbb{K}^{n \times n} \), so zeige. Für \( A_{n+1} \in \mathbb{K}^{(n+1) \times(n+1)} \) ist \( X_{A_{n+1}} \in \mathbb{K}[t]_{\text {mit }} \) \( \chi_{A_{n+1}}(t)=(-1)^{n+1}\left(t^{n+1}+a_{n} t^{n}+a_{n-1} t^{n-1}+\ldots+a_{1} t+a_{0}\right) \)

Die \( (n+1))(n+1)- \) Matrix \( A_{n+1} \) ist gegeben durch:
\( A_{n+1}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \vdots & 0 & \cdots & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \ldots & -a_{n-1}-a_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{K}^{(n+1))(n+1)} \)

Dann ist \( A_{n+1}-t \cdot \mathbb{1}_{n+1}=\left(\begin{array}{cccccc}-t & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -t & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -t & 1 \\ -a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{n-1}-a_{n}-t\end{array}\right) \in \mathbb{K}^{(n+1) \times(n+1)} \)
Annatre \( \geq(-1)^{n+1}\left(t^{n+1}+a_{n} t^{n}+\ldots+a_{1}\right) \)
\( =\ldots=(-1)^{n-1} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -a_{n} t & -a_{0} \end{array}\right)=(-1)^{n-1}\left(-a_{0}\right)=(-1)^{n} \cdot a_{0} \)
\( (n-3) \) mal
zeile 1 entwivideln
\( (*)=(-1)^{n+1}\left(t^{n+1}+a_{n} t^{n}+\ldots+a_{1}\right)+(-1)^{n+1} a_{0}=(-1)^{n+1}\left(t^{n+1}+a_{n} t^{n}+\ldots+a_{1}+a_{0}\right) \)

Answer 1

Hallo Tanja. Der Beweis funktioniert wie weiter oben von Txman skizziert mit vollständiger Induktion. Allerdings hat Txman die Determinante nach der ersten Zeile entwickelt, und ich nach der ersten Spalte, was einfacher ist. Hier meine Lösungsskizze per Bild. Ich habe den Induktionsschritt von n = 3 nach n = 4 gemacht. Deine Aufgabe ist nun die Verallgemeinerung, also der Schritt von n nach n+1. Guten Erfolg! Wenn du Fragen hast, frag ruhig.

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Vielen lieben Dank

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Vielen Dank für „beste Antwort“ und jederzeit gerne wieder.