Teilmengen von C[0,1] abgeschlossen bezüglich Supremumsnorm

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Teilmengen von \( \mathcal{C}[0,1] \) abgeschlossen sind bezüglich \( \|\cdot\|_{\infty}: \)
(a) \( A_{1}:=\left\{f \in \mathcal{C}[0,1]: f\left(t_{0}\right)=\alpha\right\} \) für feste \( t_{0} \in[0,1] \) und \( \alpha \in \mathbb{R} \).
(b) \( A_{2}:=\{f \in \mathcal{C}[0,1]: \alpha \leq f(t) \leq \beta \) für alle \( t \in[0,1]\} \) für feste \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).
(c) \( A_{3}:=\{f \in \mathcal{C}[0,1]: f \) hat (mindestens) eine Nullstelle \( \} \).

Problem/Ansatz:

Diese Aufgaben sollten eigentlich ziemlich machbar sein, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch. Kann mir jemand vielleicht einen Hinweis zu einer Teilaufgabe geben, damit ich die anderen in ähnlichem Vorgehen lösen kann? Vielen Dank und schöne Feiertage :)

Answer 1

Die Frage ist also:

Wenn man eine Folge \((f_n)\in A\) hat, die gleichmäßig gegen eine Funktion \(f\) konvergiert, überträgt sich die gefragte Eigenschaft von den \(f_n\) (die die Eigenschaft haben) auf \(f\) (wo man's erstmal nicht weiß)?

Hilft das? Wenn Dich das "gleichmäßig" stört: Eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist insb. auch punktweise konvergent.

Stetig (also in \({\cal C}[0,1]\)) ist \(f\) sowieso (Grenzfunktion gleichmäßiger konvergenter stetiger Funktionen ist wieder stetig).

Comments

Achso, also soll man die Funktion f(t₀) Als Folge sehen, die den Grenzwert α hat? Dann müsste für gleichmäßige Konvergenz die Supremumsnorm von f(t₀)–α gegen null gehen...oder bin ich komplett daneben?

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\(f(t_0)\) ist keine Funktion, sondern ein Funktionswert.

Zu \(A_1\): Der obige Tipp heißt umgesetzt: Wir haben eine Folge \(f_n\in A_1\), d.h. es gilt also .... (das setzt Du ein). Und es gelte \(f_n\to f\) insb. punktweise, d.h. ... (das setzt Du ein). Gilt dann auch \(f\in A_1\), also gilt: ...(das setzt Du ein)?

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Das ist jetzt mein Ansatz, hoffentlich richtig...:

(a) \( A_{1}:=\left\{f \in C[0,1]: f\left(t_{0}\right)=\alpha\right\} \)

Wir haben eine Folge \( f_{n} \in A_{1} \), d.h der GW von \( \left(f_{n}\right)_{n \in N} \) \( \in A_{1} \). Also gilt auch \( f_{n} \rightarrow f \) insbesondere punktweise, \( d . h \). \( \forall t_{0} \in[0,1] \forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N:\left(f_{n}\left(t_{0}\right)-f\left(t_{0}\right) \mid<\varepsilon\right. \) \( \Leftrightarrow\left|f_{n}\left(t_{0}\right)-\alpha\right|<\varepsilon \)

Jetzt komme ich wieder nicht weiter. Meine Überlegung war, dass vielleicht f_n(t₀) nicht von n abhängt, oder sich für n groß genug wie f(t₀) verhält, und dann hätte man α-α, was dann natürlich kleiner als Epsilon ist.

Zu zeigen ist ja dass auch f in A₁ liegt, dass also der GW für alle t₀ in A₁ ist, dass also α in A₁ ist, richtig? Aber wie schafft man jetzt noch diesen Zusammenhang?

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Wir haben eine Folge \( f_{n} \in A_{1} \), d.h der GW von \( \left(f_{n}\right)_{n \in N} \) \( \in A_{1} \).

??? Nein. Ich hab Dir oben das Beweisgerüst vorgegeben. Schreib ab und fülle die Stellen mit ... aus. Dann sehen wir weiter. Mit \(\varepsilon\) haben wir nichts zu tun, es geht alles mit Folgen und deren Grenzwerten.