Wie lautet die Umkehrung der Aussage?

Question

Aufgabe:

Wenn a eine natürliche Zahl mit Primfaktorzerlegung a = p³ oder a = p · q ist, wobei p und q verschiedene Primzahlen sind. Dann ist das Produkt über alle positiven Teiler P_a von a das Quadrat von a, also P_a= a²
Hier soll gezeigt werden, dass auch die Umkehrung des Satzes gültig ist  d. h. er ist eine Äquivalenz.
a) Formulieren Sie die Umkehrung des obigen Satzes.
b) Ermitteln Sie begründet die Anzahl der positiven Teiler von a, wenn P_a= a² gilt.
c) Nutzen Sie Ihr Ergebnis aus dem vorigen Aufgabenteil, um zu folgern, dass für a nur die Primfaktorzerlegungen a = p³ sowie a = pq in Frage kommen.

Problem:

Verstehe die Aufgaben leider nicht. Wäre die Umkehrung bei a) Wenn das Produkt über alle positiven Teiler P_a das Quadrat von a ist , dann ist a eine natürliche Zahl mit Primfaktorzerlegung mit a=p³oder a= p•q, wobei p und q verschiedene Primzahlen sind. Stimmt dies? Und bei Aufgabe b) und c) verstehe ich es nicht. Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wir nehmen an, dass a = p^m qⁿ r^k ... mit Primzahlen p,q,r und m > 3 ist, dann hat P_a mindestens die Teiler pⁱ mit 1 = 1,2,...,m, also p^(m+1)m/2 und das ist größer als p^2m, also ist m ≤ 3. Wenn n ≥ 2 ist, so haben wir zusätzlich die Teiler pⁱ q^j, q^k für j,k = 1,...,n, d.h. P_a enthielte den Faktor q mehr als 2n-mal. Es bleiben also die Fälle a = p² und p² q zu betrachten, hier ist P_a ≠ a².