Menge von Primzahlen, Primfaktorzerlegung

Question

Aufgabe: Sei

P eine endliche Menge von Primzahlen und N(P) die Menge aller natürlichen

Zahlen deren Primfaktorzerlegung nur Elemente in N(P) enthält. (Sie dürfen die

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung annehmen). Zeigen Sie, dass

\( \sum\limits_{n∈ℕ(P) }^{}{1÷n} \) = \( \prod_{p∈P}^{} {1÷(1-(1÷p))} \)  < ∞

Folgern Sie, dass die Menge der Primzahlen nicht endlich sein kann.

…

Problem/Ansatz: ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll

Comments

Hallo

du kommst vielleicht auf eine Idee wenn du erst mal N(p)= menge mit Faktoren 2 und 3 dann N(p)=mit p=3,7 } nimmst und dabei siehst wie man auf die Produktformel kommt

Gruß lul

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Irgendwas stimmt nicht, oder ich habe es falsch verstanden. Wenn

N(P) die Menge aller natürlichen Zahlen deren Primfaktorzerlegung nur Elemente in N(P) enthält

ist, und \(P\) sei \(P = \{3\}\) dann ist doch \(N(P) = \{3^1,\, 3^2,\, 3^3,\, \dots \}\). Also soll gelten$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac 13 = \frac 1{1 - \frac 13}$$das ist aber nicht gleich!?

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Hallo

du hast N(p) besser hingeschrieben, ich hätte nicht  {3} schreiben dürfen ,  sondern nur  N(3) dann wäre die Summe ∑(1/3)^k=1/(1-1/3) also richtig   wenn P ={2, 3} ist hat man ∑(1/2)^k+(1/3)^k+(1/6)^k +1/12^k

aber das stimmt nicht mit dem Produkt? also sieh noch mal genau in der Orgialaufgabe nach,

Gruß lul

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Mhm komisch, es steht genauso in der Aufgabe...