Bestimmen Sie den Grenzwert lim x->0 (sin(2x)-2sinx) / (2e^x-x^2-2x-2)

Question

Aufgabe: Grenzwert bestimmen

lim x->0

sin(2x)-2sinx / 2e^x-x^2-2x-2

Nachdem einsetzen kommt 0/0 raus

Also habe ich abgeleitet: (L'Hoptial-Regel)

2cos(2x)-2cos(x) / 2e^x-2x-2

Es kommt wieder 0/0 raus, was soll ich als nächstes machen?
Bitte um Tipps...

Comments

Nochmal L'Hopital, solange bis was nützliches dasteht.

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Keine Aussage. Ich bekomme das Kommentarfeld
nicht weg.

mfg Georg

Answer 1

lim _x->0 ( sin ( 2 x ) - 2 sin ( x  ) ) / ( 2 e ^x - x ² - 2 x - 2 )

[Typ "0/0" , also L'Hospital:]

= lim _x->0 ( 2 cos ( 2 x  ) - 2 cos ( x ) ) / ( 2 e ^x - 2 x - 2 )

[soweit warst du ja schon gekommen.
Nun erst einmal mit 2 kürzen, um die weiteren Ableitungen zu erleichtern:

= lim _x->0 ( cos ( 2 x  ) - cos ( x ) ) / ( e ^x - x - 1 )

[Dies ist wieder vom Typ "0/0", also nochmal L'Hospital:]

= lim _x->0 ( - 2 *  sin ( 2 x  ) + sin ( x )  ) / ( e ^x - 1 )

[Auch das ist wieder vom Typ "0/0", also nochmal L'Hospital:]

= lim _x->0 ( - 4 * cos ( 2 x  ) + cos ( x )  ) / e ^x

[Dieser Grenzwert existiert und ist:]

= - 3

Also ist auch

lim _x->0 ( sin ( 2 x ) - 2 sin ( x  ) ) / ( 2 e ^x - x ² - 2 x - 2 ) = - 3