Berechne die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Regel von Bernoulli-de l'Hospital.

Question

Aufgabe:

erechne die folgenden Limites mit Hilfe der Regel von Bernoulli-de l'Hospital. In einigen Fällen ist die Regel mehrfach hintereinander anzuwenden.

a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (-8 x)}{-20 x}=? \), Antwort als rationale Zahl.

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{5 \sin x-\sin (5 x)}{\sin (-9 x)--9 x}=? \) als rationale Zahl.

c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{8^{1 x}-1 x \ln (8)-1}{\cos (12 x)-1}=? \) als gerundeter Dezimalbruch (2 Stellen)

d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ arcsin (15x)-15x }{ -15 x^3 } = ? \) als rationale Zahl

e) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{10 \sin (-13 x)}{\arctan (9 x)}=? \quad \) als rationale Zahl.

f) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan (5 x)-\frac{\pi}{2}}{\sin \left(\frac{19}{x}\right)}=? \) als rationale Zahl.

Answer 1

a)
(sin(-8x))'/(-20x)' = -8cos(8x)/-20
lim x->0 -8cos(8x)/-20 = 2/5

b)
(5 sin x - sin(5x))'/(sin(-9x) - -9x)' = 5(cos(x) - cos(5x))/(9 - 9cos(9x))
lim x->0 5(cos(x) - cos(5x))/(9 - 9cos(9x)) = 40/243

c)
(8^x - x ln(8) -1)'/(cos(12x) - 1)' = (8^x - 1)log(8)/(-12sin(12x))
((8^x - 1)log(8))'/(-12sin(12x))' = 8^x log^2(8)/(-144(cos(12x))
lim x->0 8^x log^2(8)/(-144(cos(12x))  =
-1/144 log^2(8) = -0.03

d)
(arcsin(15x) - 15x)'/(-15x^3)' = 15(1/√(1-225x^2) -1)/(-45x^2)
(15(1/√(1-225x^2) -1))'/(-45x^2)' = (3375x/(1-225x^2)^{3/2}) / (-1/90x)
(3375x/(1-225x^2)^{3/2})' / (-1/90x)' = 3375(450x^2 + 1)/(1-225x^2)^{5/2} / (-1/90)
lim x->0 3375(450x^2 + 1)/(1-225x^2)^{5/2} / (-1/90) = 3375/(-1/90) = -303750
:D

e)
(10 sin(-13x))'/(arctan(9x))' = -130 cos(13x) * (81x^2 + 1)/9
lim x->0 -130 cos(13x) * (81x^2 + 1)/9 = -130/9

f) ist mir selbst mit nem algebraprogramm zu ekelig