Stetigkeit bei Funktion mit mehreren Variablen zeigen

Question

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Consider the function \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) given by
\( f(x, y):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin (x) \sin (y)}{x^{2}+y^{2}} & \text { if } x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & \text { if } x^{2}+y^{2}=0 . \end{array}\right. \)

Ich möchte nur prüfen ob die Funktion stetig ist. Für x^2+y^2≠0 ist die Funktion als Komposition stetiger Funktionen stetig. Für den Fall x^2+y^2=0 muss ich sie gesondert überprüfen. Also im Punkt (0,0). Ich hätte hier mit dem Folgenkriterium gearbeitet.

Seien (a_n, b_n) → (0,0) , wobei a_n≠0 und b_n≠0. Also muss ich zeigen, dass lim_(n→∞) f(a_n, b_n)= f(0,0)=0

0<=(| sin(a_n) *sin(b_n)|)/a_n^2+b_n^2)<= 1/(a_n^2+b_n^2). Dieser Ausdruck divergiert ja für n→∞. Also ist die Funktion im Punkt (0,0) nicht stetig. Ist das so richtig oder muss man anders vorgehen?

Answer 1

Das Vorgehen ist in Ordnung. Aber dass \(f(a_n,b_n)\) divergiert, musst Du noch nachweisen. Es würde auch reichen, das für eine konkrete Folge \((a_n.b_n)\) zu zeigen.

Comments

Ich habe es zwar ma mit einer konkreten Folge (1/n, 1/n) probiert komme jedoch nicht ganz beim umformen weiter. Deshalb hab ich versucht mit der Definition der Konvergenz zu arbeiten. Also a_n und b_n sind Nullfolgen deshalb gilt die Epsilon Definition. Also a_n^2 <ε und b_n^2<ε. Deshalb a_n^2+b_n^2<2ε. Eingesetzt oben 1/a_n^2+b_n^2 <1/2ε. Da ja ε beliebig klein gewählt werden kann, folgt daraus, dass der Ausdruck divergiert.

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In Deinem \(\varepsilon\)-Beweis geht einiges durcheinander. So ungeordnet kann man da nicht rangehen. Du willst ja Divergenz zeigen, dann müsstest Du für alle \(S>0\) ein \(n_0\) finden, so dass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(f(x_n,y_n)>S\). Genauso, mit den Angaben zu \(S,n,n_0\).

Aber was mit Folgen nicht klappt, wird mit \(\varepsilon\) sicher nicht einfacher.

Berechne einmal \(\lim f(\frac1n,0)\) und einmal \(f(\frac1n,\frac1n)\).

Zu letzterem solltest Du den Grenzwert von \(\frac{\sin(x)}x\) für \(x\to 0\) kennen bzw. raussuchen.

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Habs hinbekommen, danke dir