Aloha :)
Über das Krümmungsverhalten der Funktion$$f(x)=x^{-a}\cdot e^x\quad;\quad x\in\mathbb R^+\;;\;a\in\mathbb R$$gibt das Vorzeichen der 2. Ableitung Auskunft. Die 1. Ableitung folgt mit der Produktregel:$$f'(x)=\left(\underbrace{x^{-a}}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'=\underbrace{-ax^{-a-1}}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{x^{-a}}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v'}=\left(-ax^{-a-1}+x^{-a}\right)\cdot e^x$$Bei der 2. Ableitung hilft ebenfalls die Produktregel:$$f''(x)=\left(\underbrace{\left(-ax^{-a-1}+x^{-a}\right)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'$$$$\phantom{f''(x)}=\underbrace{\red{\left(-a(-a-1)x^{-a-2}-ax^{-a-1}\right)}}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{\green{\left(-ax^{-a-1}+x^{-a}\right)}}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}$$$$\phantom{f''(x)}=\left(\red{a^2x^{-a-2}+ax^{-a-2}-ax^{-a-1}}\green{-ax^{-a-1}+x^{-a}}\right)\cdot e^x$$$$\phantom{f''(x)}=\left(a^2\blue{x^{-a-2}}+a\blue{x^{-a-2}}-2a\cdot \underbrace{x\cdot\blue{x^{-a-2}}}_{=x^{-a-1}}+\underbrace{x^2\cdot\blue{x^{-a-2}}}_{=x^a}\right)\cdot e^x$$$$\phantom{f''(x)}=(\pink{a^2}+a\pink{-2ax+x^2})\cdot\blue{x^{-a-2}}\cdot e^x$$$$f''(x)=\frac{\pink{(x-a)^2}+a}{\blue{x^{a+2}}}\cdot e^x$$
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist und wegen \(x>0\) auch der Nenner \(x^{a+2}\) stets positiv ist, ist das Vorzeichen der zweiten Ableitung gleich dem Vorzeichen des Zählers.
1. Fall: Konkavität
Die zweite Ableitung muss nicht-positiv sein, d.h.$$(x-a)^2+a\le0$$Da Quadartzahlen stets \(\ge0\) sind, kann diese Forderung nur für \(a\le0\) erfüllt werden:$$(x-a)^2\le-a\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-a\le\phantom-\sqrt{-a}\implies x\le a+\sqrt{-a}\\[1ex]x-a\ge-\sqrt{-a}\implies x\ge a-\sqrt{-a}\end{array}\right\}\Longleftrightarrow$$$$x\in\left[a-\sqrt{-a}\big|a+\sqrt{-a}\right]\quad\text{für }a\le0$$
2. Fall: Konvexität
Hier müssen wir nach den Berechnungen zum 1. Fall nicht mehr viel tun und können das Ergebnis direkt angeben. Die Funktion ist konvex, falls gilt:$$a\ge0\quad\lor\quad \left(a<0\;\land\;x\le a-\sqrt{-a}\right)\quad\lor\quad \left(a<0\;\land\;x\ge a+\sqrt{-a}\right)$$
