f ( x ) hat an der Stelle x = 1 die Steigung
f ' ( 1 ) = - e - 1
Damit hat die Normale die Steigung - 1 / f ' ( 1 ) = 1 / e - 1 = e
Die Geraden mit dieser Steigung haben die Gleichung:
y = e x + b
Für den y-Achsenabschnitt b derjenigen dieser Geraden, die durch den Punkt ( 1 | e - 1 ) verläuft, gilt:
e - 1 = e * 1 + b
<=> b = e - 1 - e
Somit lautet die Geradengleichung der Normalen:
y = e x + e - 1 - e
Wenn diese Normale die x-Achse an der Stelle x0 = 1 - 1 / e 2 = 1 - e - 2 schneidet, dann muss sich beim Einsetzen dieser Stelle in die Geradengleichung der Normalen der Wert y = 0 ergeben, also Einsetzen:
y = e * ( 1 - e - 2 ) + e - 1 - e
= e * 1 - e * e - 2 + e - 1 - e
= e - e - 1 + e - 1 - e
= 0
Damit ist der geforderte Nachweis erbracht.