Normale schneidet x-Achse

Question

Gegeben ist die Funktion f: f(x) = e^-x

a) Zeigen Sie, dass die Normale an Kf im Punkt P(1/f(1)) die x-Achse and der Stelle x0= 1 - (1/e²) schneidet

Answer 1

f ( x ) hat an der Stelle x = 1 die Steigung

f ' ( 1 ) = - e ^{- 1}

Damit hat die Normale die Steigung - 1 / f ' ( 1 ) =  1 / e ^{- 1}  = e

Die Geraden mit dieser Steigung haben die Gleichung:

y = e x + b

Für den y-Achsenabschnitt b derjenigen dieser Geraden, die durch den Punkt  ( 1 | e ^{- 1} ) verläuft, gilt:

e ^{- 1} = e * 1 + b

<=> b = e ^{- 1} - e 

Somit lautet die Geradengleichung der Normalen:

y = e x + e ^{- 1} - e

Wenn diese Normale die x-Achse an der Stelle x₀ = 1 - 1 / e ² = 1 - e ^{- 2} schneidet, dann muss sich beim Einsetzen dieser Stelle in die Geradengleichung der Normalen der Wert y = 0 ergeben, also Einsetzen:

y = e * ( 1 - e ^{- 2} ) + e ^{- 1} - e

= e * 1 - e * e ^{- 2} + e ^{- 1} - e

= e - e ^{- 1} + e ^{- 1} - e

= 0

Damit ist der geforderte Nachweis erbracht.

Comments

Hay es gibt noch Teil b) Bestimmen sie die Gleichung einer Tangente an Kf die durch den Punkt Q(0/-1) verläuft.
Ich habe y= -x -1 raus bin mir aber nicht so recht sicher ob das stimmt.