Populationsentwicklungen - Matrizen

Question

Aufgabe:

Die Population einer Tierart kann in die drei Altersstufen Jungtiere, ausgewachsene Tiere und Alttiere unterteilt werden. Die Übergangsmatrix
U= \( \begin{pmatrix} 0 & u & v\\ 0,4 & 0 & 0 \\ 0 & 0,25 & 0 \end{pmatrix} \)  mit u, v > 0 beschreibt die jährlichen Veränderungen innerhalb dieser Tierart.

a) Bestimmen sie u unter der Vorgabe, dass jedes ausgewachsene Tier entweder selbst zum Alttier wird oder aber stirbt und genau ein jungtier hinterlässt.
b) Zeigen Sie, dass es für u=0,75 eine Altersentwicklung gibt, die sich jährlich wiederholt.

c) Wie viele Tiere einer 180 köpfigen Herde gehören dann der jeweiligen Altersklasse an?

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

a) Die Spalten der Übergangsmatrix müssen stets 1 ergeben. Damit lassen sich \(u\) und \(v\) leicht bestimmen.

b) Bestimme den Fixvektor mit Hilfe des Gleichungssystems \(Ux=x\).

c) Berechne mit Hilfe von \(x\) aus Aufgabe b) die absoluten Werte mittels \(180\cdot x\).

Comments

Ich habe bei b) ein LGS aufgestellt aber es kommt kein Ergebnis bei mir raus.

Ansatz: (Ich habe mal 10 gerechnet für absolute Zahlen)

-10    7,5     10

4       -10      0

0       2,5      -10

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Das LGS hat in der Tat keine Lösung ...

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a) Die Spalten der Übergangsmatrix müssen stets 1 ergeben. Damit lassen sich \(u\) und \(v\) leicht bestimmen.

Nein, müssen Sie nicht.

Schau dir die erste Spalte der gegebenen Matrix an.

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Ja stimmt, weil 60 % der Jungtiere sterben. Für die Spalten 2 und 3 muss das jedoch zutreffen.

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Das LGS hat in der Tat keine Lösung ...

Was heißt das dann für meine Lösung bei b) bzw. c)

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Die Population stirbt aus. Aber ob das so gewollt ist, wag ich zu bezweifeln.

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Das heißt erst einmal nur, dass dein LGS falsch aufgestellt sein könnte.

Aus

Vorgabe, dass jedes ausgewachsene Tier entweder selbst zum Alttier wird oder aber stirbt und genau ein jungtier hinterlässt.

folgt, dass u=0,75 sein muss. Jetzt rechnen wir einmal
 \( \begin{pmatrix} 0 & 0,75 & v\\ 0,4 & 0 & 0 \\ 0 & 0,25 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} j\\ m \\ a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} j\\ m \\ a \end{pmatrix}\) .
Daraus folgt
0,75 m + v*a = j
0,4j = m
0,25 m = a.

Die erste Gleichung wird durch Einsetzen zu
3a + v*a = 10a.