Ein Seil wird über zwei Rollen gelegt, und an den hängenden m befestigt. Enden werden die Massen \(M\) und \(m\) befestigt.
Der hängende Seilabschnitt mit der Masse \(m\) habe die Länge \(r\). Lenkt man die nun Masse m um den Winkel \(\varphi \) aus, entsteht ein System mit sehr unvorhersehbarem Verhalten, das sich durch
diese Differentialgleichungen beschreiben lässt:
\(r'' = \frac{1}{1 + \mu} \left( r \left( \varphi' \right)^2 + \cos \varphi - \mu \right)\)
\(\varphi'' = -\frac{1}{r} \left( 2 r' \varphi' + \sin \varphi \right)\)
Dabei bezeichnet \(\mu = \frac{M}{m} \)das Verhältnis der Massen.
a) Stelle das angegebene Differentialgleichungssystem der Ordnung zwei als ein Differentialgleichungssystem der Ordnung 1 dar.
b) Für welche Werte von u hat dieses System Gleichgewichtspunkte?
Problem:
Ich habe Schwierigkeiten damit die Aufgabe Mathematisch zu lösen, ich verstehe zwar worum es geht, aber weiß nicht genau wie ich es umsetzen soll.
Ich habe versucht es zu rechnen, kann aber nicht abschätzen ob das stimmt.
Bei a) hätte ich als Ergebnis
\( \frac{dr}{dt} = v_1 \)
\( \frac{d\varphi}{dt} = v_2 \)\( \frac{dv_1}{dt} = \frac{1}{1 + \mu} \left( r v_2^2 + \cos \varphi - \mu \right) \)\( \frac{dv_2}{dt} = -\frac{1}{r} \left( 2 v_1 v_2 + \sin \varphi \right) \)
Bei c) bin verstehe ich garnicht wie ich es berechnen soll. Kann jemand mir helfen?
