Gleichgewichtspunkte von zwei Rollen

Question

Ein Seil wird über zwei Rollen gelegt, und an den hängenden m befestigt. Enden werden die Massen $M$ und $m$ befestigt.

Der hängende Seilabschnitt mit der Masse $m$ habe die Länge $r$. Lenkt man die nun Masse m um den Winkel $\varphi$ aus, entsteht ein System mit sehr unvorhersehbarem Verhalten, das sich durch

diese Differentialgleichungen beschreiben lässt:

$r'' = \frac{1}{1 + \mu} \left( r \left( \varphi' \right)^2 + \cos \varphi - \mu \right)$
$\varphi'' = -\frac{1}{r} \left( 2 r' \varphi' + \sin \varphi \right)$
Dabei bezeichnet $\mu = \frac{M}{m}$das Verhältnis der Massen.

a) Stelle das angegebene Differentialgleichungssystem der Ordnung zwei als ein Differentialgleichungssystem der Ordnung 1 dar.
b) Für welche Werte von u hat dieses System Gleichgewichtspunkte?
Problem:
Ich habe Schwierigkeiten damit die Aufgabe Mathematisch zu lösen, ich verstehe zwar worum es geht, aber weiß nicht genau wie ich es umsetzen soll.
Ich habe versucht es zu rechnen, kann aber nicht abschätzen ob das stimmt.
Bei a) hätte ich als Ergebnis
$\frac{dr}{dt} = v_1$
$\frac{d\varphi}{dt} = v_2$$\frac{dv_1}{dt} = \frac{1}{1 + \mu} \left( r v_2^2 + \cos \varphi - \mu \right)$$\frac{dv_2}{dt} = -\frac{1}{r} \left( 2 v_1 v_2 + \sin \varphi \right)$
Bei c) bin verstehe ich garnicht wie ich es berechnen soll. Kann jemand mir helfen?

Answer 1

Da Du zwei Dgl 2.ter Ordnung hast, wird das System 1.ter Ordnung 4 Unbekannte haben.

$r,\, v_1:=r',\, \varphi,\, v_2:=\varphi'$. Die $v_1, v_2$ definierenden Gleichungen bilden zwei der vier Gleichungen. Die Original-Dgln, umgeschrieben mit den neuen Variablen, so dass nur erste Ableitungen vorkommen, bilden die anderen zwei Gleichungen.

c) gibt es nicht. Wenn Du b) meinst: Bringe die Dgl aus a) in die Form

$\begin{pmatrix}r \\ v_1\\ \varphi\\ v_2\end{pmatrix}' = ...$.

Ein Gleichgewichtspunkt ist dort, wo die linke Seite der Nullvektor ist. Löse dann auf.

Comments

Danke! Ich versuche es mal

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Gut. Bei Problemen melde Dich gerne nochmal.

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Also a) war ja nicht ganz falsch, ich glaube ich hab's

Und bei b)

Habe ich die Gleichgewichtspunkte berechnet, also ich habe die Ableitungen $r'$, $v_1'$, $\varphi'$ und $v_2'$ auf null gesetzt. Dazu kam ich zu den Bedingungen $v_1 = 0$ und $v_2 = 0$. Diese habe eingesetzt und das ergab $\cos \varphi = \mu$ und $\sin \varphi = 0$. Dann habe ich $\varphi = k\pi$, und $\mu$ und das muss entweder 1 oder -1 sein. Also habe ich als Gleichgewichtspunkte für $\mu = 1$ oder $\mu = -1$.

Habe ich es richtig verstanden?

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Ja, alles richtig. Aber $\mu$ ist kein Gleichgewichtspunkt. Wir sind im $r-\varphi$-System), da sind Punkte im $\R^2$ gefragt.

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Alles klar, vielen Dank für die Hilfe !