Aloha :)
Wenn die Anzahl \(n\) der Versuche sehr groß ist und die Eintrtittswahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten des Ereignisses sehr klein ist, liefert die Normalverteilung keine besonders gute Näherung für die Binomialverteilung. In diesen Fällen spricht man von "seltenen Ereignissen". Ein Beispiel ist z.B. die Anzahl der Unfälle an einer Kreuzung. Es gibt viele Fahrzeuge, also ist \(n\) sehr groß, aber es kommt nur selten zu einem Unfall, also ist \(p\) sehr klein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein seltenes Ereignis bei \(n\) Versuchen genau \(k\)-mal eintritt, kannst du dann besser wie folgt abschätzen:$$p_n(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$$$\phantom{p_n(k)}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$
Da \(p\ll1\) ist, wird \(k\ll n\) sein. Im Zähler gibt es also nur wenige Faktoren, die alle etwa gleich \(n\) sind. Dadurch überschätzen wir die Wahrscheinlichkeit ein wenig, weil der Zähler größer wird:$$p_n(k)\approx\frac{n^k}{k!}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}=\frac{n^k}{k!}\cdot p^k\cdot\frac{(1-p)^n}{(1-p)^k}$$
Wegen \(p\ll1\) und \(k\ll n\), wird der Nenner \((1-p)^k\approx1\) sein. Tatsächlich ist er kleiner als \(1\). Wenn wir den Nenner also weglassen bzw. gleich \(1\) setzen, machen wir den gesamten Bruch kleiner. Diese Näherung wirkt also der zuvor gemachten Näherung entgegen:$$p_n(k)\approx\frac{n^k}{k!}\cdot p^k\cdot(1-p)^n=\frac{(np)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{\pink n\cdot p}{\pink n}\right)^n$$
Für die letzte Näherung habe ich das \(p\) in der Klammer \((1-p)\) mit einem \(\pink n\) erweitert. Für große \(n\) kennen wir nämlich den Grenzwert \(\left(1+\frac xn\right)^n\to e^x\) und erhalten schließlich:$$p_n(k)\approx\frac{(np)^k}{k!}\cdot e^{-np}\quad\text{für }n\gg1\;;\;p\ll1$$
Das ist die sog. "Poisson-Verteilung". Daher nennt man die "Poisson-Verteilung" auch gelgentlich die "Verteilung für die seltenen Ereignisse".
Diese Näherung gilt übrigens auch bei großem \(n\) und großem \(p\), denn dann ist die Wahrscheinlichkeit \((1-p)\) für das Gegenereignis ja sehr klein, sodass die Poisson-Verteilung auf das Gegenereignis angewendet werden kann.
Wenn sich die Wahrscheinlichkeit \(p\) im mittleren Bereich bewegt, ist die Normalverteilung aus deinem Link die bessere Näherung für die Binomialverteilung.
Als Entscheidungskriterium, ob man als Näherung nun die Normalverteilung oder die Poisson-Verteilung wählt, wird oft die Varianz \(\sigma^2=np(1-p)\) bzw. die Standardabweichung \(\sigma\) der Binomialverteilung bemüht. Für \(\sigma>3\) bzw. \(\sigma^2>9\) wählt man in der Regel die Normalverteilung als Näherung.
