Binominalverteilung - n gesucht bei x = 1/2n

Question

Aufgabe:

Binominalverteilung bei der n gesucht ist, bei x = 1/2n. Das heißt, es ist nicht eine feste Zahl gegeben, wie bei der klassischen "Tim will ein Tor schießen", sondern es ist gefragt, wie viele Durchläufe benötigt werden, damit man sich bei einer Chance von 0.55 zu 95% sicher sein kann, dass die Hälfte erfolgreich ist.

Somit:

x = 1/2n

p = 0,55

Man soll sich 95% sicher sein können

Problem/Ansatz:

P(x >= 1/2n) >= 0,95

Gegenwahrscheinlichkeit:

1-P(x <= 1/2n) >= 0,95

-P(x <= 1/2n) >= -0,05

P(x <= 1/2n) <= 0,05

Ich weiß nicht ob der Ansatz korrekt ist. Normalerweise würde man ja nun die kumulative Wahrscheinlichkeit von 1/2n ausrechnen, aber das n kenne ich ja nicht. Bin mir unsicher wie man hier fortfährt.

MfG

Answer 1

Meist wenn in einer Binomialverteilung nach n gefragt ist sollte man mit der Normalverteilung nähern.

P(X ≥ 1/2·n) = 1 - NORMAL((1/2·n - 0.5 - n·0.55)/√(n·0.55·0.45)) ≥ 0.95 --> n = 247.4

∑(COMB(248, x)·0.55^x·0.45^(248 - x), x, 124, 248) = 0.9498998482

∑(COMB(249, x)·0.55^x·0.45^(249 - x), x, 125, 249) = 0.9433496707

∑(COMB(250, x)·0.55^x·0.45^(250 - x), x, 125, 250) = 0.9505260452

Es müssten also n = 250 Durchläufe gemacht werden, damit man zu 95% sicher sein kann das die Hälfte erfolgreich ist.

Comments

Ich verstehe leider noch nicht, was ich mit der Formel

1 - NORMAL((1/2·n - 0.5 - n·0.55)/√(n·0.55·0.45)) ≥ 0.95

machen muss. Ich war der Meinung ich könnte den TR einfach nach n auflösen lassen, aber das scheint nicht der Fall zu sein...Die Lösungsansätze zu Aufgaben dieser Art scheinen meiner Meinung nach im Internet auch relativ rar zu sein, also komme ich leider nicht weiter.

Verstehe ich es richtig, dass wenn man nun das Ergebnis (n) in diese Formel einsetzt, man dort den z-Wert zum Nachschlagen in der Tabelle herausbekommt?

Für 248 bekomme ich -1,65 was laut der Tabelle bereits 0,0495, also 1-0,0495 > 0.95 ist.

Vielen Dank bereits für deine große Hilfe. MfG

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Ich habs bereits, danke. Habe die Gegenwahrscheinlichkeit genommen, also ohne das 1- am Anfang und <= 1-0.95 verwendet. Schaut man dies in der z-Tabelle nach, erhält man -1,65.

Daraufhin kann man dann (1/2n-0,5-n*0,55)/(sqrt(n*0,55*0,45)) <= -1,65 in den TR einsetzen und nach n auflösen, wodurch man sofort 249,1 erhält.

Answer 2

(n über n/2)*0,55^(n/2)*0,45^(n/2) >= 0,95

(n über n/2)* (0,55*0,45)^(n/2) >=0,95

Geht nur über Probieren. Algebraisch nicht lösbar.