Zeigen Sie, dass f und f zueinander komplementär in V sind.

Question

Aufgabe:

Es sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \) und \( f: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung mit \( f \circ f=f \).
1. Zeigen Sie, dass \( \operatorname{ker} f \) und \( \operatorname{im} f \) zueinander komplementär in \( V \) sind.
2. Wir setzen \( g=\operatorname{id}_{V}-f \). Zeigen Sie, dass auch \( g \circ g=g \) gilt, und \( \operatorname{ker} g=\operatorname{im} f \), im \( g=\operatorname{ker} f \).

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht was zu tun ist, normalerweise ergibt in der Gruppentafel f mit f = e, aber das sind ja keine Gruppen. Danke im voraus! Ah stimmt und es gibt einen Ansatz denn ich nutzen soll, nämlich die dimensionsformel: dim v = dim im plus dim ker

Comments

Du könntest mal mit b anfangen, das ist nämlich eine einfache Rechenaufgabe- straightforward wie der Lateiner sagt.

Bei a wäre zunächst die Frage: weißt Du, was komplementäre Unterräume sind?

Answer 1

zu 1: Das bedeutet doch:  V ist die direkte Summe von Bild f und Kern f.

siehe auch:

https://www.mathelounge.de/1007462/zeigen-dass-v-die-direkte-summe-von-bild-und-kern-ist

Und für 2 betrachte

\( g \circ g= (id-f) \circ (id-f) = id \circ (id-f)  - f \circ  (id-f)  \)

\( = id \circ id - id \circ f - (  f \circ id -  f \circ f )  \)

\( = id - f - (  f - f ) =  id - f = g \)

Für \( \operatorname{ker} g=\operatorname{im} f \) zeige:

Für alle x∈V gilt g(x)=0 <=> x∈im(f). Etwa so:

g(x)=0 <=>  (id - f ) (x) = 0 <=> id(x) - f(x) = 0 <=> x = f(x).

Wegen fof=f ist dies genau dann erfüllt, wenn x∈im(f).

Comments

Zu der eins habe eine Frage, in deinem Beweis werden ja zwei funktionen benutzt aber hier haben nur eine, ist es dann auch bijektiv? Und statt u und v hätten wir ja nur v aus V für f oder?

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Es gilt v = f(v) + (f(v) - v), der eine Summand liegt im Bild, der andere im Kern. Und aus f(v) = 0 und v = f(w) = f(f(w)) = f(v) folgt v = 0.

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Text erkannt:

tufgabe 1.3
Burfirmen Si \( (\mathrm{g} \circ \mathrm{f})\left(e_{1}\right) \)
\( \begin{array}{l} g \cdot g: x, f(x) g \circ f(x)=g(f(x)) \\ (g \circ f)(e=)=g\left(g\left(e_{4}\right)\right)=g\left(\binom{-2}{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ -3 & 2 \end{array}\right) \cdot\binom{2}{-1}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -8 \\ -3 \end{array}\right)\right. \\ \end{array} \)

Anfoube 2.1
Kaipar kund \( f: V \rightarrow V \) eine \( \lim \). Af sit \( f \circ f=f \)
\( \begin{array}{l} \forall v=\operatorname{in} f: f(v)=v \\ \forall v \in \operatorname{her} f: f(v)=0 \\ z: \operatorname{her} f+\operatorname{in} f=v \end{array} \)

Aufgabe 2 (10 Punkte)
2. Wir setzen \( g= \) id \( v-f \). Zeigen Sie, dass auch \( g \circ g=g \) zilt, und kerg \( =\operatorname{im} f \), im \( g= \) ker \( f \).

Siale \( v \in V \). Es gelf
\( v=v-f(v)+f(v), \text { Engümung } \)

Da \( f: V \rightarrow V \) limear gill im \( (f):\{w=W: W=f(v) \) fie \( \operatorname{sim} v \in V\} \leq W \) das sied Daher isd \( v=f(v) \) aus \( v=v-f(v)+f(v) \) eindutig laut Def das sielveng.
\( \begin{array}{l} z: v=(v-f(v)) \text { is } k \mathrm{~cm} \\ (f \circ f)=8 \\ \Rightarrow(f \circ f)(v)=f(v) \\ \Leftrightarrow f(f)(v)=f(v) \\ v=(v-f(v)) \Leftrightarrow f(v)=f(v-f(v))=f(v)-f(f(v)) \\ =f(v)-\left(f_{0} f\right)(v) \\ \Rightarrow f(f(v))=0=f(v) \\ \begin{array}{l} =f(n)-f(v) \\ =0 \end{array} \\ \Rightarrow f(v)=0 \\ \text { Alos } V:=v-f(v) \in \operatorname{ker} f \\ \end{array} \)
und damil isf \( v:=f(v)+v \in \) imf + her \( f \)
z: \( \operatorname{le} f \cap \sin f=\{0\} \)
Angencommen es gäbe \( x \neq 0 \) mit \( x \in \operatorname{imf} \cap \) herf
\( \begin{array}{l} \Rightarrow \text { Esgibf } u \in V \text { mit } f(u)=x \text { und } f(x)=0 \\ \Rightarrow(f \circ f)(u)=0 \end{array} \)

Ist das hier richtig?