Grenzwertsätze: Grenzwert eines Quotienten = Quotient der Grenzwerte rechnen?

Question

Ich bin auf die Grenzwertsätze gestoßen:

Grenzwertsätze

Sind $f: x \mapsto f(x), x \in \mathbb{D}_{f}$ und $g: x \mapsto g(x), x \in \mathbb{D}_{g}$ reelle Funktionen mit $\lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=p$ und $\lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} g(x)=q$ so gilt:

a) Grenzwert einer Summe = Summe der Grenzwerte:
$\lim \limits_{x+\infty}(f+g)(x)=p+q \quad$ bzw. $\quad \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}(f+g)(x)=p+q$

b) Grenzwert einer Differenz= Differenz der Grenzwerte:
$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}(f-g)(x)=p-q \quad$ bzw. $\quad \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}(f-g)(x)=p-q$

c) Grenzwert eines Produkts = Produkt der Grenzwerte:
$\lim \limits_{ x \rightarrow +\infty }(f \cdot g)(x)=p \cdot q$ bzw. $\lim \limits_{ x \rightarrow-\infty } (f \cdot g)(x)=p \cdot q \quad$

d) Grenzwert eines Quotienten = Quotient der Grenzwerte:
$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f}{g}(x)=\frac{p}{q}$  bzw. $\lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{f}{g}(x)=\frac{p}{q}$, falls $q \neq 0$

Aufgaben dazu:

Berechnen Sie lim x→±∞ (e^x-1)/(e^x+1)

Ich würde jetzt hier dieses Grenzwert eines Quotienten = Quotient der Grenzwerte rechnen.

Das heißt also zweimal rechnen, also einmal für +∞ und -∞?

Answer 1

Hi,

 

da hast Du Dir nicht gerade das leichteste Beispiel als Einstieg ausgesucht:

 

lim x→∞ (e^x-1)/(e^x+1) = lim e^x/(e^x+1) - 1/(e^x+1)

 

Der erste Teil geht gegen 1, da sich das +1 nicht groß auswirkt, kann man das direkter über e^x/e^x = 1 anschauen. Der letzte Summand ist 0, da der Nenner sehr groß wird.

Insgesamt also den Grenzwert für x -> ∞ ist 1

 

Gleiches Spiel auch hier:

lim x→-∞ (e^x-1)/(e^x+1) = lim e^x/(e^x+1) - 1/(e^x+1)

 

Der erste Term geht gegen 0. Da wir hier ja x gegen -∞ haben, werden die e-Funktionen sehr klein. Prinzipiell steht da beim ersten Summanden 0/(0+1) = 0. Beim zweiten Teil hast Du in etwa -1/(0+1) = -1

Insgesamt also den Grenzwert für x -> -∞ ist  -1.

 

Grüße