Eigenschaft der Nullabbildung

Question

Ich habe eine Frage zu der Nullabbildung.

Sei φ(x,y) = (0,0) die Nullabbildung für n = 2.

Warum gilt für jede Menge U aus R^2 dann, das das Urbild der ganze Raum R^2 ist?

Also z.B. sei U = Lin(1,0) der Spann vom ersten Einheitsvektor. Dann ist ja nach Definition das Urbild die Menge

 {(x,y) | φ(x,y) = u mit u aus U} = {(x,y) | 0 = u = (p,0) mit p aus R}

aber warum ist das dann R^2? u ist doch nicht nur der Nullvektor bzw. p = 0. ?

Answer 1

Warum gilt für jede Menge U aus R^2 dann, das das Urbild der ganze Raum R^2 ist?

Außer für \(\{(0,0)\}\in U\) ist das Urbild leer, denn die Nullabbildung bildet ja auf den Nullvektor ab. Da aber jedes Element aus \(\mathbb{R}^2\) auf den Nullvektor abgebildet wird, ist das Urbild des Nullvektors der gesamte \(\mathbb{R}^2\). Enthält \(U\) den Nullvektor jetzt aber nicht, so ist das Urbild leer, da es keinen Vektor gibt, der auf einen Vektor von \(U\) abgebildet werden kann.

Comments

Dankeschön:)

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Nochmal mit anderen Worten: Die Aussage "für jedes Menge U..." ist falsch. Richtig wäre z.B. die Aussage "für jeden Unterraum U...".

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Danke für die Ergänzung. Ich vermute auch, dass die Aussage tatsächlich so lautet. Jeder Unterraum enthält nämlich den Nullvektor.

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Ja, vermute ich auch.

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Ja das war eigentlich die Aussage. Ich habe es an der Stelle unpräzise geschrieben