Wieso ist hier die Nullabbildung enthalten?

Question

Aufgabe:

Ist \(W\) ein Unterraum von \(Abb(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) ?

$$W:=\{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f(x)=f(-x) \text { für alle } x \in \mathbb{R}\}$$

Problem/Ansatz:

In der Lösung steht, dass die Nullabbildung sicherlich enthalten ist in \(W.\) 
Wieso aber, und was ist hier in W die Nullabbildung. Das sind doch alle \(x\)-Werte die auf die Null abgebildet werden. 

Eigentlich würde ich dann sagen, dass \(f( x = 0 ) = 0.\) 
Aber das weiss ich doch nicht. Es kann ja \(f(0) = c\) und \(c\) ungleich null sein. 

Frage:
Kann mir jemand zeigen 

a) Was die Nullabbildung ist. 

b) Wieso die Nullabbildung in W ist.

Answer 1

Die Nullabbildung ist folgendes

$$ f_0(x)=0 \text { für alle } x \in \mathbb{R}$$

Ganz offensichtlich ist doch in

$$W:=\{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f(x)=f(-x) \text { für alle } x \in \mathbb{R}\}$$

da

$$ f_0(x)=f_0(-x)=0 \text { für alle } x \in \mathbb{R}$$

Comments

Recap:
Also ist die Nullabbildung die, die die ganzen Werte der x-Achse nimmt und jedes einzelne x ∈ (-∝,∝) auf f(x) = 0 abbildet ? 

Das wäre dann sozusagen die x-Achse selbst. 
Also muss ich zeigen dass die x-Achse selbst in Abb(IR,IR) ist. 

Definition:
Dazu sage ich einfach so mal dass nach definition gilt, dass
\(f_0(x) = 0\) die Nullabbildung ist. 

W alle Abbildungen aber mit Einschränkung:
Die Menge W hat aber alle Abbildungen von IR nach IR mit der Einschränktung dass \(f(x)=f(-x)\) gelten muss. 

Da ich weiss dass die x-Achse (oder Nullabbildung) Element  a l l e r  Abbildungen von IR nach IR ist, brauche ich für diese Nullabbildung nur noch zu überprüfen, ob sie auch die Einschränkung erfüllt.
Denn tut sie dass, ist sie in W enthalten.
Tut sie das nicht, ist sie in W nicht enthalten und W wäre kein Unterraum. 



Wir haben: $$f_0(x)=0$$ Als die Nullabbildung. 
Wir wissen: Die Nullabbildung ist in der Menge aller Abbildungen von IR nach IR enthalten. 
Wir prüfen die Einschränkung: 
$$f_0(x) = 0 = f(-x)$$

Das heisst also wenn eine Zahl x auf die Null abgebildet wird,
so wird auch ihr negatives (- x) auf Null abgebildet. 

Nullabbildung ist in W:
Da die Nullabbildung alle x-Werte (egal welches Vorzeichen) nimmt und auf Null abbildet, ist es wirklich offensichtlich dass es in W liegt.