Zeige, dass S(8|2|40) die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist.

Question

Aufgabe:

g) Der Ausdauersportler geht sehr gerne Klettern. In dem Freizeitpark steht eine Kletteranlage in Form eines Pyramidenstumpfes mit vier unterschiedlichen Kletterwänden. Der Pyramidenstumpf entsteht aus einer Pyramide, indem diese parallel zur Grundfläche durchgeschnitten und der obere Teil weggelassen wird. Der Pyramidenstumpf hat als Grundfläche das Viereck ABCD mit A(0|0|0), B(6|6|0), C(0|18|0) und D(-8|4|0) und als Deckfläche das Viereck A*B*C*D* mit A*(4|1|20), B*(7|4|20) und C*(4|10|20) (Koordinatenangaben in Meter).
Zeige, dass S(8|2|40) die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist. Bestimme die Koordinaten des Punktes D*. Zeichne den Pyramiden-stumpf in ein Koordinatensystem ein.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe überhaupt nicht. Bitte hilft mir.

Answer 1

Die ursprüngliche Spitze befindet sich am Schnittpunkt der Seitenkanten. Diese verlaufen beispielsweise durch die Punkte \(A\) und \(A^*\) bzw. \(B\) und \(B^*\). Der Punkt \(D^*\) lässt sich auf verschiedene Weise ermitteln. Zum Beispiel mit Hilfe von Strahlensätzen oder aus Symmetriegründen, wenn man die anderen Seitenkanten des Stumpfes betrachtet. Hier hilft es, erst die Skizze zu machen und sich dann zu überlegen, welche Koordinaten der Punkt haben muss (welche Seitenlängen hat die obere Plattform des Stumpfes).

Answer 2

[0, 0, 0] + r·[4, 1, 20] = [8, 2, 40] → r = 2

[6, 6, 0] + r·[1, -2, 20] = [8, 2, 40] → r = 2

[0, 18, 0] + r·[4, -8, 20] = [8, 2, 40] → r = 2

[-8, 4, 0] + r·[16, -2, 40] = [x, y, 20] --> x = 0 ∧ y = 3 ∧ r = 0.5