Die untere Summationsgrenze der Reihe ist ungleich 0, aber dies hat auf was Wurzelkriterium erstmal keinen Einfluss. Also kann man das Wurzelkriterium direkt (ohne Indexverschiebung) anwenden und erhält mit $$a_n = \frac{n^5\cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{6^n}$$ den Ausdruck
$$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \\ = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^5\cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{6^n}} \\ = \limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^5}\cdot \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}}{\sqrt[n]{6^n}} \\ = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{6}\sqrt[n]{n^5}\cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) \\ = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{6}\left(\sqrt[n]{n^5} + \frac{1}{n}\sqrt[n]{n^5})\right) \\ $$ Wir wissen, dass die Grenzwerte der Folgen \(b_n \coloneqq \sqrt[n]{n^5} \) und \(c_n \coloneqq \frac{1}{n} \) existieren, dürfen also die Rechenregeln für Grenzwerte konvergenter Folgen anwenden und erhalten
$$ \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{6}\left(\sqrt[n]{n^5} + \frac{1}{n}\sqrt[n]{n^5})\right) \\ = \frac{1}{6}\left(1 + 0 \cdot 1 \right) \\ = \frac{1}{6} < 1 $$
Man sieht also, dass die Reihe nach dem Wurzelkriterium (absolut) konvergiert.
