Zeigen Sie, dass dimK(V)=dimK(W) ist.

Question

Hallo,

ich brauche bei folgender Aufgabe aus der Linearen Algebra 2 dringend Hilfe:

Seien K ein Körper und A ∈ M(n × n;K). Sei ϕ :Kn × Kn → K die zu A gehörige Bilinearform, d.h. es gilt ϕ(x, y)= t^xAy fur alle x,y ∈ Kn. Seien V und W die Untervektorraume von Kn, die durch V:={x ∈ Kn| ϕ(x, y)=0 ∀ y ∈ Kn} und W:={y ∈ Kn| ϕ(x, y)=0 ∀ x ∈ Kn} definiert sind. Zeigen Sie, dass dimK(V)=dimK(W) ist.

Ich hab leider so gar keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Danke im Voraus für die Hilfe!

Comments

Durch genaues Hinschauen wirst du merken: Das eine ist der Zeilendefekt, das andere der Spaltendefekt. Da immer (für Matrizen beliebiger Form) Spaltenrang=Zeilenrang gilt, gilt für quadratische Matrizen Zeilendefekt=Spaltendefekt.

Etwas mehr im Detail, es gilt für beliebiges \(x\in k^n\):

\((x^\intercal Ay=0,\forall y\in k^n) \iff x^\intercal A=0^\intercal \iff A^\intercal x=0,\)

es gilt also \(V=\ker(A^\intercal)\), und analog \(W=\ker(A)\). Dass diese beiden Räume die gleiche Dimension haben, folgt aus obiger Überlegung.

Answer 1

Statt t^x müsste es x^T heißen, und was soll K(V) sein? Die Aufgabe würde ich auch nicht verstehen.

Aber schreib doch mal hin, was V sein soll: V = {x} mit (x₁,...,x_n)A = 0, analog für W mit

Ay = 0 mit Spaltenvektor y. Das sind homogene Gleichungssysteme und rg(A) = rg(A^T).