alpha so bestimmen, dass die Vektoren eine Basis im R^3 bilden

Question

u=(2,-2,0)^T

v=(-4,4,5)^T

w=(α,1,0)^T

α soll so bestimmt werden, das die Vektoren eine Basis im R³ bilden.

Answer 1

Drei Vektoren aus R ³ bilden eine Basis des R ³ , wenn sie linear unabhängig, also nicht linear abhängig sind.

Die Vektoren u , v , w sind linear abhängig, wenn es zwei Zahlen r und s ∈ R gibt, die nicht beide gleich Null sind, sodass gilt:

r * u + s * v = w

Dies führt auf folgendes Gleichungsystem:

2 r - 4 s = α

- 2 r + 4 s = 1

0 r + 5 s = 0

Aus der dritten Gleichung folgt sofort:

s = 0

Damit folgt aus der zweiten Gleichung:

r = - 1 / 2 

r und s eingesetzt in die erste Gleichung ergibt:

- 1 - 0 = α

Also:

Für α = - 1 sind u, v und w linear abhängig.
Für alle anderen Werte von alpha hingegen bilden sie eine Basis des R ³

Comments

Gilt das Gleiche für R⁴ ? Also ich habe 4 Vektoren:  u,v,w,x

r * u + s * v + t * w = x

Wenn dies der Fall ist sind sie linear abhängig?