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Aufgabe G25
Wie oft muss eine faire Münze mindestens geworfen werden, damit die relative Häufigkeit des Auftretens von „Zahl “ mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 0.99 zwischen 0.49 und 0.51 liegt? Benutzen Sie eine Approximation.
Vorlesungsabschnitte: bis II.5.4
Lösungshinweise: Wir definieren
\( X_{k}:=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { beim } k \text {-te Wurf wird Zahl geworfen, } \\ 0, & \text { beim } k \text {-te Wurf wird Kopf geworfen, } \end{array} \quad k \in \mathbb{N}\right. \text {. } \)
Bei insgesamt \( n \in \mathbb{N} \) Würfen ist die relative Häufigkeit des Auftretens von \( { }_{n} Z_{a h l} \) " gerade gegeben durch \( \overline{X_{n}}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} X_{k} \). Es ist \( \mu:=E\left[X_{1}\right]=0.5 \) und \( \sigma^{2}:=V\left[X_{1}\right]=0.5^{2} \) (vgl. Abschnitt II.3.2). Entsprechend ist
\( \sqrt{n} \frac{\overline{X_{n}}-0.5}{0.5} \)
für hinreichend großes \( n \) approximativ standardnormalverteilt. Wir erhalten
\( P\left(0.49 \leq \overline{X_{n}} \leq 0.51\right)=P\left(-\sqrt{n} \frac{0.01}{0.5} \leq \sqrt{n} \frac{\overline{X_{n}}-0.5}{0.5} \leq \sqrt{n} \frac{0.01}{0.5}\right) \approx \Phi\left(\sqrt{n} \frac{0.01}{0.5}\right)-\Phi\left(-\sqrt{n} \frac{0.01}{0.5}\right)=2 \Phi(0.02 \sqrt{n})-1 . \)
Dies ist genau dann größer als 0.99 , wenn \( \Phi(0.02 \sqrt{n})>0.995 \) gilt. Dies ist wegen \( u_{0.995} \approx 2.576 \) und der Monotonie von \( \Phi \) wiederum (approximativ) äquivalent \( \mathrm{zu} 0.02 \sqrt{n}>2.576 \), also zu \( n>16589.44 \). Die Münze muss also mindestens 16590-mal geworfen werden. Man beachte, dass diese Zahl so groß ist, dass eine Normalapproximation gerechtfertigt ist.
Aufgabe:
Kann mir jemand bei Aufgabe G25 den Lösungsweg erklären?
Problem/Ansatz:
Ich verstehe schon warum P(0.49<= Xn <= 0.51) gerechnet wird. Aber wie kommt man auf die
n > 16589.44 ?
Und wie kommt man oben bei der Gleichung am Ende darauf, noch minus 1 zu rechnen?
