Integral durch Substitution

Question

Aufgabe:

Integral durch Substitution

Problem/Ansatz:

\( \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1+2x}}  dx\). Habt ihr einen Tipp bzw. Ansatz? Dankee :)

Answer 1

Hier noch eine Lösung ohne Substitution, indem man benutzt:

\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\) mit

\(a= \sqrt{1+2x}\) und \(b =1\)

Damit ergibt sich für da Integral

\(\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+2x} + 1} dx = \frac 12 \int_0^1 \frac{(\sqrt{1+2x} + 1)(\sqrt{1+2x} - 1)}{\sqrt{1+2x} + 1} dx = ...\)

\(... = \frac 12 \int_0^1 \left(\sqrt{1+2x} - 1\right) \; dx = ...\)

Das kann man nun direkt integrieren:

\(... = \frac 12 \left[ \frac 12\cdot\frac 23 (1+2x)^{\frac 32} - x \right]_0^1 = ...\)

Obere und untere Grenze einsetzen ergibt:

\(... = \frac 16\left(3\sqrt 3 - 4\right)\)

Comments

\(a= \sqrt{1+2x} + 1\) und \(b = \sqrt{1+2x} - 1\)

So aber nicht, sondern \(a=\sqrt{1+2x}\) und \(b=1\).

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@Apfelmännchen
Stimmt! Ist noch früh. :-D Danke.

Answer 2

Substituiere \(u=\sqrt{2x+1}+1\). Dann ist \(\mathrm{d}x=\sqrt{2x+1}\mathrm{d}{u}\) und \(x=\frac{(u-1)^2-1}{2}\). Das musst du dann noch in \(\mathrm{d}x\) einsetzen. Das führt dann auf das Integral \(\frac{1}{2}\int\!(u-1)(u-2)\,\mathrm{d}u\). Die Grenzen substituiere ich hier nicht, da man sie auch am Ende in die berechnete Stammfunktion einsetzen kann.

Das kann man nun leicht durch Ausmultiplizieren integrieren.

Comments

1/6(2x+1)^(3/2) - 1/2(2x+1)^(1/2) + C bekomme ich am Ende, was eigentlich nicht sein kann oder ?

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Du hast ein bestimmtes Integral und das ist eine reelle Zahl und keine Stammfunktion. Weiterhin komme ich auch auf eine andere Stammfunktion.

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Deine Stammfunktion stimmt. Du musst natürlich jetzt noch die Grenzen einsetzen, um das Integral zu berechnen.

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was wäre deine Lösung, ich glaub ich mache irgendwo einen Fehler...

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Du musst doch jetzt nur noch die Grenzen einsetzen. Wo ist das Problem? Es kommt 1/3 heraus.

Ach halt. Ich stelle gerade fest, dass ich bei deinem Integral im Nenner das "1+" übersehen habe. Dann passt natürlich auch die Stammfunktion nicht.

Ich habe die Antwort anhand des korrekten Integranden angepasst. Rechne das bitte nochmal nach. :)

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Kontrolle: \(\frac{(\sqrt{3})^3-4}{6}\approx 0,1994\).

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Ich versuch es nochmal, danke ;)

Answer 3

\( \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1+2x}}  dx\)
Substitution \(u=1+\sqrt{1+2x}\) 
Die Grenzen des Integrals ändern dann entfällt die Rücksubstitution:
untere Grenze ist \(0  \)  →  \(u=1+\sqrt{1+2\cdot 0}=2\)
obere Grenze ist \(1  \) →  \(u=1+\sqrt{1+2\cdot 1}=1+\sqrt{3}\)
\(u=1+\sqrt{1+2x}\)  nach \(x\) auflösen
\(\sqrt{1+2x}=u-1|^{2}\)
\(1+2x=(u-1)^{2}\)
\(2x=u^2-2u\)
\(x=0,5u^2-u\)      Ableiten von \( x\)
\(dx=(u-1)du\)
\( \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1+2x}}  dx=\int\limits_{2}^{1+\sqrt{3}}\frac{0,5u^2-u}{u}(u-1)du\\=\int\limits_{2}^{1+\sqrt{3}}(0,5u-1)(u-1)du\\=\int\limits_{2}^{1+\sqrt{3}}(0,5u^2-1,5u+1)du\\=[\frac{1}{6}u^3 - \frac{3}{4}u^2 +u ]_{2}^{1+\sqrt{3}}\)
Zur Vereinfachung:   \(1+\sqrt{3}≈2,732 \)
\( \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1+2x}}  dx=[\frac{1}{6}u^3 - \frac{3}{4}u^2 +u ]_{2}^{2,732}\\=0,532659861-0,333333333=0,199\)

\( \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1+2x}}  dx≈0,199\)

Comments

Was enthält die Antwort jetzt Neues neben dem Rechenweg?

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Ich habe die Integralgrenzen auch verändert.

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Das ist ja der Wahnsinn!

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Warum übertreibst du so?

https://blog.etrapez.pl/de/hochschulbildung/bestimmte-integrale-durch-substitution-aenderung-der-integrationsgrenzen/

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Ein Ansatz (den ich in meinem Kurs empfehle) ist, das Problem komplett zu umgehen, indem man das unbestimmte Integral (ohne Integrationsgrenzen) nebenbei löst und dann die Integrationsgrenzen 5 und 2 in das Ergebnis (mit Variable x) einsetzt.

Mal abgesehen davon, dass obige Vorgehensweise tatsächlich empfehlenswert ist, liefert deine Antwort einfach keine neuen Erkenntnisse. Von der Unübersichtlichkeit fange ich gar nicht erst an. Ansonsten hätte es auch ein Kommentar getan, wo man darauf hinweist, dass man auch entsprechend die Grenzen anpassen kann. Das wären zwei Zeilen zusätzliche Information gewesen. Das bedarf meines Erachtens aber keiner eigenständigen Antwort, die letztendlich nur wieder das durchführt, was bereits gesagt wurde.

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Er hat halt eine bisher unentdeckte Lücke gefunden und wird nun alle alten Fragen mit dieser "neuen" Methode bearbeiten, das Punktekonto steigt und steigt.

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@nudger

Warum kommentierst du so abschätzig?

Mache dich doch mal an die äußerst vielen Offenen Fragen. Da kannst du dein Wissen und Können leuchten lassen!

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1. Diese Frage war nicht offen

2. Du hast sie nicht beantwortet (lies nochmal die Frage)

3. Eine Frage, die über 10 Jahre alt ist, ist sowieso nicht mehr offen, ea wartet keiner auf eine Antwort.

4. Warum so realitätsfern?

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Und sogleich bestätigst Du meinen Kommentar. Das richtige Wort ist "zutreffend", nicht "abschätzig".

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Da kannst du dein Wissen und Können leuchten lassen!

@nudger verfolgt auf dieser Plattform jedoch ein anderes Ziel als du und so einige andere, da er eben nicht so Ich-bezogen ist und sich hier präsentieren muss.