Integral durch Substitution

Question

Aufgabe:

Integral durch Substitution

Problem/Ansatz:

\( \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1+2x}}  dx\). Habt ihr einen Tipp bzw. Ansatz? Dankee :)

Answer 1

Substituiere \(u=\sqrt{2x+1}+1\). Dann ist \(\mathrm{d}x=\sqrt{2x+1}\mathrm{d}{u}\) und \(x=\frac{(u-1)^2-1}{2}\). Das musst du dann noch in \(\mathrm{d}x\) einsetzen. Das führt dann auf das Integral \(\frac{1}{2}\int\!(u-1)(u-2)\,\mathrm{d}u\). Die Grenzen substituiere ich hier nicht, da man sie auch am Ende in die berechnete Stammfunktion einsetzen kann.

Das kann man nun leicht durch Ausmultiplizieren integrieren.

Comments

1/6(2x+1)^(3/2) - 1/2(2x+1)^(1/2) + C bekomme ich am Ende, was eigentlich nicht sein kann oder ?

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Du hast ein bestimmtes Integral und das ist eine reelle Zahl und keine Stammfunktion. Weiterhin komme ich auch auf eine andere Stammfunktion.

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Deine Stammfunktion stimmt. Du musst natürlich jetzt noch die Grenzen einsetzen, um das Integral zu berechnen.

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was wäre deine Lösung, ich glaub ich mache irgendwo einen Fehler...

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Du musst doch jetzt nur noch die Grenzen einsetzen. Wo ist das Problem? Es kommt 1/3 heraus.

Ach halt. Ich stelle gerade fest, dass ich bei deinem Integral im Nenner das "1+" übersehen habe. Dann passt natürlich auch die Stammfunktion nicht.

Ich habe die Antwort anhand des korrekten Integranden angepasst. Rechne das bitte nochmal nach. :)

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Kontrolle: \(\frac{(\sqrt{3})^3-4}{6}\approx 0,1994\).

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Ich versuch es nochmal, danke ;)

Answer 2

Hier noch eine Lösung ohne Substitution, indem man benutzt:

\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\) mit

\(a= \sqrt{1+2x}\) und \(b =1\)

Damit ergibt sich für da Integral

\(\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+2x} + 1} dx = \frac 12 \int_0^1 \frac{(\sqrt{1+2x} + 1)(\sqrt{1+2x} - 1)}{\sqrt{1+2x} + 1} dx = ...\)

\(... = \frac 12 \int_0^1 \left(\sqrt{1+2x} - 1\right) \; dx = ...\)

Das kann man nun direkt integrieren:

\(... = \frac 12 \left[ \frac 12\cdot\frac 23 (1+2x)^{\frac 32} - x \right]_0^1 = ...\)

Obere und untere Grenze einsetzen ergibt:

\(... = \frac 16\left(3\sqrt 3 - 4\right)\)

Comments

\(a= \sqrt{1+2x} + 1\) und \(b = \sqrt{1+2x} - 1\)

So aber nicht, sondern \(a=\sqrt{1+2x}\) und \(b=1\).

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@Apfelmännchen
Stimmt! Ist noch früh. :-D Danke.