Bestimmen Sie die kritischen Punkte

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die kritischen Punkte von ƒ: ℝ²  → ℝ mit

ƒ(x,y) = 2x³-xy²+5x²+y²

Comments

Warum entfernst du deine bisherigen Ansätze !?

Answer 1

Aloha :)

Die kritischen Punkte einer Funktion sind diejenigen, bei denen der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{6x^2-y^2+10x}{-2xy+2y}=\binom{6x^2-y^2+10x}{2y(1-x)}$$

Aus der Forderung an die zweite Komponente folgt \(y=0\) oder \(x=1\).

1. Fall: \(y=0\)

Die Forderung an die erste Komponente lautet nun:$$0\stackrel!=6x^2+10x=6x\left(x+\frac53\right)\implies x=0\;\lor\;x=-\frac53$$Dieser Fall liefert also 2 kritische Punkte:$$K_1(0|0)\quad;\quad K_2\left(-\frac53\bigg|0\right)$$

2. Fall: \(x=1\)

Die Forderung an die erste Komponente lautet nun:$$0\stackrel!=6-y^2+10=16-y^2\implies y=\pm4$$Dieser Fall liefert also 2 weitere kritische Punkte:$$K_3(1|-4)\quad;\quad K_4(1|4)$$

Answer 2

Zur letzten Gleichung: ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Also y=0 oder 1-x=0.

Zwei Fälle, mit denen man getrennt in die erste Gleichung geht. Nachdem man den Fehler dort korrigiert hat: \(6x^2...\), nicht \(6x^3...\).

Answer 3

Setze x=1 in die Gleichung 6x³-y²+10x = 0 ein.

Hättest du denn für

6·1³-y²+10·1 = 0 etwas anderes als y²=16 erwartet?

PS: Wenn da (korrigiert) x² statt x³ stehen würde, ändert das im konkreten Fall nichts.

Comments

Habs jetzt auch gemerkt, trotzdem danke.