Bestimmen Sie die Menge aller kritischen Punkte von f

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie folgende Funktion:

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto \frac{x^{2}+4 y^{2}}{e^{4 x^{2}+y^{2}}} . \)

i) Bestimmen Sie die Menge aller kritischen Punkte von \( f \).

ii) Klassifizieren Sie alle kritischen Punkte von \( f \) : Geben Sie an, ob dort jeweils ein Sattelpunkt, ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum von \( f \) vorliegt.

iii) Entscheiden Sie für jede der gefundenen lokalen Extremstellen, ob es sich sogar um eine globale Extremstelle von \( f \) handelt.

Answer 1

Funktion

f(x,y) = e^(- 4·x^2 - y^2)·(x^2 + 4·y^2)

Gradient

f'(x, y) = [- 2·x·e^(- 4·x^2 - y^2)·(4·x^2 + 16·y^2 - 1), - 2·y·e^(- 4·x^2 - y^2)·(x^2 + 4·(y^2 - 1))]

Hesse-Matrix

f''(x,y) = [2·e^(- 4·x^2 - y^2)·(32·x^4 + 4·x^2·(32·y^2 - 5) - 16·y^2 + 1), 4·x·y·e^(- 4·x^2 - y^2)·(4·x^2 + 16·y^2 - 17); 4·x·y·e^(- 4·x^2 - y^2)·(4·x^2 + 16·y^2 - 17), 2·e^(- 4·x^2 - y^2)·(x^2·(2·y^2 - 1) + 4·(2·y^4 - 5·y^2 + 1))]

Menge der kritischen Punkte

- 2·x·(4·x^2 + 16·y^2 - 1) = 0
- 2·y·(x^2 + 4·(y^2 - 1)) = 0

[x = 0 ∧ y = 0,
x = 0 ∧ y = 1,
x = 0 ∧ y = -1,
x = 0.5 ∧ y = 0,
x = -0.5 ∧ y = 0]

Auch wenn Wolframalpha nicht so zuverlässig ist, kann man trotzdem mal einen Abgleich machen

https://www.wolframalpha.com/input?i=extrema+%28x%5E2%2B4y%5E2%29%2Fe%5E%284x%5E2%2By%5E2%29