Integral mittels Riemannscher Summen, differenzierbare Funktionen, Menge aller kritischen Punkte bestimmen

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie bitte für \( y>1 \) mithilfe RIEMANNscher Summen den Wert des Integrals \( I_{y}=\int \limits_{1}^{y} \frac{d x}{x} \) ! Wie verhält sich \( I_{y} \) für \( y \rightarrow \infty \) ?


(b) Es sei \( f \) auf \( I=[a ; b] \) stetig, \( u \) und \( v \) seien differenzierbare Funktionen auf \( I \) mit Bildmengen \( u(I) \subset I \) und \( v(I) \subset I \). Beweisen Sie bitte, dass auf \( I \) gilt

\(\frac{d}{d x}\left(\int \limits_{u(x)}^{v(x)} f(t) d t\right)=f(v(x)) v^{\prime}(x)-f(u(x)) u^{\prime}(x) .\)

(c) Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R} \ni x \mapsto \int \limits_{1}^{x^{2}}\left(\frac{t^{2}}{2}-\alpha t+2 \alpha^{2}\right) e^{-t} d t \in \mathbb{R} \). Bestimmen Sie bitte die Menge aller kritischen Punkte von \( f \) !

Problem/Ansatz:

Guten Tag zusammen,

benötige dringend Unterstützung bei diesen Teilaufgaben. Sie sind Teil meiner Hausaufgaben und ich komme mit keiner so wirklich zurecht. Rechenwege und kurze Erklärungssätze wären optional natürlich sehr hilfreich!

Vielen Dank für Eure Zeit

Comments

Das ist ja ein schönes Ü-Ei, gleich 3 Aufgaben in einer Frage. Du erhöhst die Wahrscheinlichkeit auf eine gute Antwort, wenn du jede der 3 Fragen einzeln stellst und auch konkret sagst, wo du Schwierigkeiten hast.

Answer 1

Hallo Martin. Starten wir mit Aufgabe a. Ich habe sie nicht komplett durchgerechnet, aber deine Frage ist seit 24 Stunden offen, und bevor du überhaupt keine Antwort bekommst, machen wir lieber die ersten Schritte gemeinsam. Im ersten Schritt zeichnen wir die Funktion, die integriert werden soll:

Dann machst du dich zum Thema Riemannsche Summe schlau. Entweder mit deinem Skript oder mit Wikpedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral

Wie du siehst, benötigen wir für die Integration mit Hilfe der Riemann-Summe eine Zerlegung x0, x1, … sowie Zwischenstellen t1, t2, …  Lege diese jetzt bitte im zweiten Schritt fest, und mache eine Zeichnung. Um die Sache nicht zu kompliziert zu machen, legen wir y fest, z. B. auf 2.

Wenn du fertig bist, helfe ich dir weiter.

Comments

Hmmm, 4 Tage ohne Antwort. Das wird nichts mehr.