Extrema in einer Menge von einer Funktion

Question

Es geht um Extrema mit Nebenbedingungen.

Gegeben ist der Kreis K im R^2 um den Radius 4, also K := {(x,y) : x^2 + y^2 ≤ 16}.

Dazu die Funktionale f: R^2 -> R definiert als f(x,y) := x^2 y - e^xy.

Ich soll nun die Extrema von f in K bestimmen. Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Verwende Lagrange-Multiplikatoren.

Comments

Ja das kann ich ja für den Rand der Menge K machen, also {(x,y) : x^2 + y^2 = 16}. Aber was ist mit dem Inneren

{(x,y) : x^2 + y^2 < 16} ?

Muss ich da eigentlich einfach allgemein die Extrema von f im R^2 bestimmen und dann entscheiden, welche davon im Inneren liegen?

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Genau so macht man es.

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Alles klar, dankeschön!

Answer 2

Genau. Du suchst Extrempunkte einmal auf dem Kreisrand und dann noch generell innerhalb des Kreises. Dazu benötigst du zunächst die kritischen Stellen.

f(x, y) = x^2·y - e^(x·y)

f'(x, y) = [2·x·y - y·e^(x·y), x^2 - x·e^(x·y)]

2·x·y - y·e^(x·y) = y·(2·x - e^(x·y)) = 0

x^2 - x·e^(x·y) = x·(x - e^(x·y)) = 0

Kritische Stellen wären hier (0, 0) und (1, 0).

Comments

Danke!

Nochmal eine kurze Zusammenfassung:

Okay also für das Innere bestimme ich einfach allgemein die Extrema auf dem vollen Definitionsbereuch R^2 und entscheide dann welche davon im Inneren liegen und für den Rand nutze ich das Verfahren von Lagrange, in dem ich die kritischen Stellen der Langrange Funktion L(x,y,λ) bestimme, wovon dann bei den kritischen Stellen (x,y,λ) die (x,y) davon, meine Extrema auf dem Rand sind. Richtig so?