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Aufgabe:

Let \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) be i.i.d. random variables s.t. \( X_{i} \sim \operatorname{Bernoulli}(p) \) for some \( 0<p<1 \).

(a) What is the \( z \)-transform of \( X_{i} \) ?

(b) Let
\( S:=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} . \)

What is \( \mathrm{P}\{S=k\} \) where \( k \in\{0,1, \ldots, n\} \) ?

(c) What is the distribution of \( S \) ?

(d) Using parts (a), (b) and (c), find the \( z \)-transform of \( Y \sim \operatorname{Binomial}(n, p) \).


Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufgabe? Ich verstehe leider z Transformationen nicht ganz. Bin dankbar über jede Hilfe

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Schau mal hier, was zu deinen KI Kommentaren gesagt wird. ;)

https://www.mathelounge.de/1082682/bestimmen-sie-alle-losungen-der-dgl-2

Das ist mir entgangen. Ich werde darauf antworten.

Das rechtfertigt aber nicht die aggressive Form deiner Antwort, die plötzlich verschwunden ist.

1 Antwort

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(a) Die Z-Transformation der Zufallsgröße \(X\) ist

        \(Z \coloneqq \frac{X-\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}\).

Ziel ist, dass die neue Zufallsgröße \(Z\) standardisiert ist, das heißt Erwartungswert \(0\) und Standardabweichung \(1\) hat.

(b), (c) \(S\) ist \(n,p\)-binomialverteilt.

(d) Erwartungswert und Varianz der Summe von i.i.d. Zufallsvariablen ist Summe der Erwartungswerte bzw. der Varianzen der Summanden.

Avatar von 107 k 🚀

Guten tag danke für deine schnelle Antwort. Wie hast du bei a dir die Formel hergeleitet?

Das ist schon einige Jahrzehnte her, ich erinnere mich nicht mehr an die Herleitung. Wenn ich das heute herleiten müsste, dann würde ich wohl aus Faulheit in einschlägiger Literatur nachschauen.

SmartSelect_20240703_162051_Samsung Notes.jpg

Text erkannt:

\( \mathcal{G}(z)=\sum \limits_{i=0}^{\infty} p_{i} z^{i}=E\left[z^{X}\right] \)

Warum ist das nicht die richtige Formel für a?

Also quasi:

SmartSelect_20240703_162223_Samsung Notes.jpg

Text erkannt:

\( \hat{X}(z)=\boldsymbol{E}\left[z^{X}\right]=\sum \limits_{i=0}^{\infty} p_{X}(i) \cdot z^{i} \)

Offenbar ist dir überhaupt nicht klar, was eine Z-Transformation ist... Es geht dabei um die Standardisierung einer Zufallsgröße, siehe den Link weiter oben.

Da die Aufgabe auf Englisch gestellt wurde, ist wohl die Moment-generating function gemeint, wird bei ihm im Skript wahrscheinlich z-transformation genannt.

https://web.mit.edu/urban_or_book/www/book/chapter2/2.8.html

Das ergibt natürlich Sinn, klar. Die Aufgaben wären sonst aber auch echt lächerlich.

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