Z-Transformation von Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Let \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) be i.i.d. random variables s.t. \( X_{i} \sim \operatorname{Bernoulli}(p) \) for some \( 0<p<1 \).

(a) What is the \( z \)-transform of \( X_{i} \) ?

(b) Let
\( S:=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} . \)

What is \( \mathrm{P}\{S=k\} \) where \( k \in\{0,1, \ldots, n\} \) ?

(c) What is the distribution of \( S \) ?

(d) Using parts (a), (b) and (c), find the \( z \)-transform of \( Y \sim \operatorname{Binomial}(n, p) \).

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufgabe? Ich verstehe leider z Transformationen nicht ganz. Bin dankbar über jede Hilfe

Comments

Schau mal hier, was zu deinen KI Kommentaren gesagt wird. ;)

https://www.mathelounge.de/1082682/bestimmen-sie-alle-losungen-der-dgl-2

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Das ist mir entgangen. Ich werde darauf antworten.

Das rechtfertigt aber nicht die aggressive Form deiner Antwort, die plötzlich verschwunden ist.

Answer 1

(a) Die Z-Transformation der Zufallsgröße \(X\) ist

        \(Z \coloneqq \frac{X-\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}\).

Ziel ist, dass die neue Zufallsgröße \(Z\) standardisiert ist, das heißt Erwartungswert \(0\) und Standardabweichung \(1\) hat.

(b), (c) \(S\) ist \(n,p\)-binomialverteilt.

(d) Erwartungswert und Varianz der Summe von i.i.d. Zufallsvariablen ist Summe der Erwartungswerte bzw. der Varianzen der Summanden.

Comments

Guten tag danke für deine schnelle Antwort. Wie hast du bei a dir die Formel hergeleitet?

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Das ist schon einige Jahrzehnte her, ich erinnere mich nicht mehr an die Herleitung. Wenn ich das heute herleiten müsste, dann würde ich wohl aus Faulheit in einschlägiger Literatur nachschauen.

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Hier eine mögliche Herleitung

https://milania.de/content-blog/Mathematics/Statistics/Standardisierung.pdf

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Text erkannt:

\( \mathcal{G}(z)=\sum \limits_{i=0}^{\infty} p_{i} z^{i}=E\left[z^{X}\right] \)

Warum ist das nicht die richtige Formel für a?

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Also quasi:

Text erkannt:

\( \hat{X}(z)=\boldsymbol{E}\left[z^{X}\right]=\sum \limits_{i=0}^{\infty} p_{X}(i) \cdot z^{i} \)

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Offenbar ist dir überhaupt nicht klar, was eine Z-Transformation ist... Es geht dabei um die Standardisierung einer Zufallsgröße, siehe den Link weiter oben.

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Da die Aufgabe auf Englisch gestellt wurde, ist wohl die Moment-generating function gemeint, wird bei ihm im Skript wahrscheinlich z-transformation genannt.

https://web.mit.edu/urban_or_book/www/book/chapter2/2.8.html

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Das ergibt natürlich Sinn, klar. Die Aufgaben wären sonst aber auch echt lächerlich.