Zeigen Sie, dass f und g kommutieren, wenn für alle v in V .

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum mit innerem Produkt und seien f,g selbstadjungiert in End(V).
Zeigen Sie, dass f und g kommutieren, wenn <fg(v), v> = <gf(v), v> für alle v in V .

Comments

Also in einem reellen Vektorraum gilt das nicht, denn hier wäre das in der Annahme Gegebene schon durch die Selbstadjungiertheit impliziert, und es kommutieren ja nicht alle selbstadjungierten Abbildungen miteinander. Für einen komplexen Vektorraum stimmt die Aussage (mittels Polarisation).

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@Liszt ist es wirklich bereits impliziert?

@Fragesteller Als Übung könntest du dir überlegen, was mit folgendem "Beweis" nicht stimmt:

$$AB=(AB)^\ast = B^\ast A^\ast = BA.$$

Wo geht diese falsche Rechnung kaputt? Was passiert in deiner Aufgabe?

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@joners Da \( f, g \) selbstadjungiert sind gilt
\(\begin{aligned} \langle fgv, v\rangle = \langle gv, f ^{*} v\rangle = \langle gv, fv\rangle = \langle v, g ^{*} fv\rangle = \langle v, gf v\rangle = \langle gf v, v\rangle \end{aligned}\)
im Fall eines reellen Vektorraums.

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Du hast natürlich recht. Ich wäre jetzt sehr daran interessiert, was die "Intended solution" der Aufgabe ist ;)

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Danke für eure Hilfe.
Tatsächlich hat der Professor vergessen hinzuzufügen, dass der Vektorraum unitär sein muss.

Was die "intended solution" betrifft, war die Aufgabe für den unitären Fall ziemlich trivial, da wir in der Woche davor bewiesen hatten, dass aus <f(v),v> = 0 (für alle v in V) f = 0 folgt, falls V unitär ist.